Завдання. 1.Є дві скриньки. У першій скринці чотири білих і три чорних кулі, у другій - п'ять білих і сім чорних куль

1. Є дві скриньки. У першій скринці чотири білих і три чорних кулі, у другій - п'ять білих і сім чорних куль. З першої і другої скриньки перекладають по одній кулі у третю скриньку. Навмання з третьої скриньки беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що ця куля біла?

2. У групі з 25 стрільців є 5 відмінних, 15 хороших і 5 посередніх стрільців. Ймовірність попадання в ціль при одному постріл для відмінного стрілка дорівнює 0,95; для хорошого - 0,75; для посереднього - 0,5. Знайти ймовірність того, що при одному пострілі двох стрільців з групи мішень буде вражена.

3. У партії склянок 95% відповідають стандарту. Контроль визнає склянку з ймовірністю 0,98 і нестандарту склянку з імовірністю 0,02 такими, що відповідаютьстандарту. Визначити ймовірність того, що стакан, який пройшов контроль, відповідає стандарту.

4. Є дві партії стільців по 25 і 48 штук, причому в першій партії 2 стільці нижчі від інших, а у другій - чотири. Взявши з першої партії один стілець, приєднали його до другої партії. Покупець купив стілець із другої партії. Яка ймовірність того, що він купив стандартний стілець?

5. Пристрої сигналізації виробляють три фірми. Пристрої першої фірми встановлені на 43% машин; пристрої другого фірми - на 28%; пристрої третьої фірми - на 29%. Надійність пристрою, виготовленого першою фірмою, дорівнює 0,9; другою - 0,8; третьою - 0,85. Яка надійність пристрою, приналежність якого невизначено?

6. Є дві коробки з м'ячами для тенісу. У першій коробці 7 червоних і 8 зелених м'ячів, у другій - 9 червоних і 11 зелених. З першої і другої коробок, не дивлячись, беруть по одному м'ячу і кладуть у третю коробку. М'ячі у третій коробці перемішують і беруть навмання один м'яч. Визначити ймовірність того, що цей м'яч зелений.

7. На дослідній станції є запас насіння сосни, отриманий з двох лісництв. Серед них 30% насіння сосни заготовлено в першому лісництві, а 70% - у другому. Відомо, що схожість насіння з першого лісництва становить 90%, а насіння з другого лісництва - 80%. Визначити ймовірність того, що навмання посаджене насіння зійде.

8. По периметру ділянки лісу, що охороняється, встановлені чотири датчики різної конструкції, які фіксують проникнення всередину ділянки. Ймовірність спрацьовування датчиків дорівнює 0,9; 0,8; 0,85; 0,75 відповідно. Дослідник увімкнув навмання один із датчиків. Яка ймовірність зафіксувати порушення кордону?

9. В ательє працюють три швачки. Перша виконує 40% всіх замовлень; друга - 35%, а третя - 25%. При виготовленні костюмів відсоток браку у кожної зішвачок становить 2, 3 та 5% відповідно. Яка ймовірність того, що випадково вибраний костюм матиме дефект?

10. В одному кошику лежать 25 червоних і 35 жовтих яблук, а у другій - 42 жовтих і 37 червоних яблук. Беруть по два яблука з кожної корзини та перекладають у третю, а потім не дивлячись беруть одне яблуко з третього кошика. Яка ймовірність, що візьмуть червоне яблуко?

11. В одному мішку лежать 15 синіх рукавичок і 18 зелених, а в іншому - 21 синя рукавичка і 17 зелених. Навмання з одного з мішків виймають дві рукавички. Знайти ймовірність того, що вийняті обидві рукавички одного кольору.

12. На двох верстатах виготовляють деталі для стільців і складають в загальну тару. Імовірність отримання деталі нестандартного типу на першому верстаті дорівнює 0,086, а на другому - 0,065. Продуктивність другого верстата утричі більша, ніж першого. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь нестандартна.

13. У першій групі спортсменів - 7 майстрів спорту та 8 кандидатів у майстри, у другій групі - 6 майстрів і 10 кандидатів, в третій - 5 майстрів 11 кандидатів. З кожної групи вибрали випадково по два спортсмени. Яка ймовірність того, що у сформованій команді буде три майстри спорту та 3 кандидати?

14. На склад надходить продукція трьох фабрик. Причому продукція першої фабрики становить 20%; другої - 46%; третьої - 34%. Відомо також, що середній відсоток нестандартних виробів для першої фабрики дорівнює 1%; для другої - 3%, а для третьої - 1,5%. Обчислити ймовірність того, що навмання взятий виріб виявиться стандартним.

15. Серед восьми гвинтівок пристріляними виявляються тільки три. Ймовірність потрапляння з пристріляної гвинтівки дорівнює 0,9, а з не пристріляної - 0,5. Пострілом з однієї навмання взятої гвинтівки цільуражена. Визначити ймовірність того, що взята пристріляна гвинтівка.

16. У першому ящику 17 соснових і 15 ялинових шишок, а у другому - 20 соснових і 19 ялинових. З першого ящика переклали дві шишки у другий, а потім з другого ящика дістали одну шишку. Яка ймовірність того, що цяшишка соснова?

17. З першого складу у цехнадходить 35% деталей; з другого - 22%, з третього - 25%, з четвертого - 18%. Ймовірністьотримати з першого складу браковану деталь дорівнює 0,01; з другого - 0,003; з третього - 0,005; з четвертого - 0,001. Знайтиймовірність того, щонадісланау цех деталь бракована.

18. У першому мішку лежать 55 зелених і 67 червоних яблук, у другому мішку - 67 червоних і 44 зелених яблук, у третьому мішку - 38 зелених і 65лет червоних яблук. З кожного мішка взяли по 1 яблуку і поклали в кошик, з якого потім беруть одне яблуко. Яка ймовірність, що яблуко виявиться червоним?

19. На іспиті студентам пропонується 40 білетів. Студент вивчив лише 21 білет. Яким за рахунком йому вигідніше зайти: першим, другим або третім?

20. При дослідженні жирності молока корів все стадо було розбито на три групи. У першій групі виявилося 70%, у другій - 23% і в третій - 7% всіх корів. Ймовірність того, що молоко, отримане від окремої корови, має не менше 4% жирності, для кожної групи корів відповідно дорівнює 0,6; 0,35 і 0,1. Визначити ймовірність того, що для взятої навмання корови жирність молока становитиме не менше 4%.

21. Є 5 ящиків з кухлями. У першому, другому та третьому міститься по 5 білих і 7 синіх кухлів, у четвертому і п'ятому ящиках - по 6 білих і 6 синіх кухлів. Випадково вибирають ящик і з нього витягують кухлі. Яка ймовірність того, що вилучений кухоль буде синій?

22. Перша бригада виробляє в чотири рази більше продукції, ніж друга. Ймовірність того, що вироблена продукція виявиться стандартною для першої бригади 0,88; для другої - 0,93. Визначити ймовірність того, що взята навмання одиниця продукції буде стандартною.

23. Для посіву заготовлено насіння 4 видів клена. Причому 22% всього насіння клена 1-го виду; 33% - 2-го виду; 32% - 3-го виду; 13% - 4-го виду. Ймовірність проростання для насіння першого виду дорівнює 0,69; для другого - 0,74; для третього - 0,43; для четвертого - 0, 38. Знайти ймовірність того, що навмання взяте насіннячко зійде.

24. У скриньку, що містить 6 однакових рукавичок кинули рукавичку з дефектом, а потім вилучили одну рукавичку. Знайти ймовірність того, що вилучена рукавичка без дефекту, якщо рівноймовірні всі можливі припущення про число дефектних рукавичок, що спочатку містяться в ящику.

25. Із повного набору 28 кісточок доміно навмання вилучено кісточку. Знайти ймовірність того, що друга вилучена кісточка може бути приставлена до першої.

26. У групі спортсменів 12 боксерів, 17 бігунів і 19 стрибунів. Ймовірність виконати кваліфікаційну норму для боксера дорівнює 0,71; для бігуна - 0,89; для стрибуна - 0,73. Знайти ймовірність того, що спортсмен, вибраний навмання, виконає норму.

27. Під час викрадення машини сигналізація першого виду подає сигнал небезпеки з ймовірністю 0,84, а сигналізація другого виду - з ймовірністю 0,99. Ймовірність того, що машина обладнана сигналізацією першого або другого виду відповідно дорівнює 0,7 і 0,3. Яка ймовірність подачі сигналу небезпеки сигналізації на випадково обраній машині?

28. Агентство зі страхування автомобілів розділяє водіїв за 3 класами: Р1 (практично не ризикує), Р2 (мало ризикує), Р3 (завжди ризикує). Аналіз застрахованих водіїв попередніх періодів показав, що 32% водіїв належить класу Р1; 48% - класу Р2і 20% - класу Р3. Ймовірність потрапити протягом року в аварію для водіїв класу Р1 дорівнює 0,01; класу Р2 - 0,015; класу Р3-0,124. Яка ймовірність того, що навмання вибраний водій за рік не потрапить в аварію?

29. У змаганнях беруть участь 7 спортсменів з Київа, 9 - зі Львова, 13 - зі міста Сум. Спортсмен з Київапотрапляє у збірну з ймовірністю 0,9; зіЛьвова- з ймовірністю 0,7; а із Сум- 0,85. Яка ймовірність потрапити у збірну навмання обраному спортсмену?

30. У зібраному електричному ланцюгові можуть бути установлені запобіжники 3 типів. Ймовірності установлення запобіжника першого, другого або третього типів дорівнюють 0,19; 0,63 та 0,18 відповідно. Ймовірності перегоряння при перевантаженні ланцюга для запобіжників першого, другого та третього типів дорівнюють 0,89, 0,97 та 0,82 відповідно. Яка ймовірність того, що запобіжник у ланцюзі перегорить, якщо його тип невідомий?

Контрольні запитання

1. Що називають повною групою подій?

2. Для чого застосовується формула повної ймовірності?

3. Як записується формула повної ймовірності?

4. Що таке гіпотеза у формулі повної ймовірності?

5. Для яких подій справедлива формула повної ймовірності?

6. Які обмеження накладаються на гіпотези у формулі повної ймовірності?

3.2. Формула Байєса (теорема гіпотез)

Нехай є повна група несумісних гіпотез , відомі ймовірності Р (), , цих гіпотез до випробуванняі умовні ймовірності Р(А / ) події А,яка може відбутися лише спільно з однією гіпотезою.

Виконановипробування, в результаті якого подія A відбулася, тоді умовні ймовірності Р ( / A) обчислюються за формулоюБайєса:

Р ( / A) = ,де Р(А)=

Приклад. Оператор радіолокаційної станції фіксує літак з ймовірністю 0,8 і вважає інший предмет (наприклад, птах) за літак з ймовірністю 0,1. Практика показує, що в 15% випадків на екран оператора попадають саме птахи. Оператор прийняв рішення, що в повітрі знаходиться літак. Визначити ймовірність того, що сигнал був прийнятий правильно.

Розв’язання. Нехай подія А - рішення оператора про те, що в повітрі знаходиться літак. Гіпотези - літак у небі; - у небі птах. Необхідно обчислити Р ( / A). За умовою задачі Р(Н₁)=0.85, Р(Н₂)=0.15, Р(А/Н₁)=0.8, Р(А/Н₂)=0.1.

Тоді за формулою Байєса

Р ( / A) =