Точечные и интервальные оценки

Средние величины. Характеризуют значения признака, вокруг которого концентрируются наблюдения.

1. Средняя арифметическая .

Основные свойства средней арифметической:

a) Средняя арифметическая постоянной равна самой постоянной;

b) Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз:

c) или

d) Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на то же число:

e) или .

f) Средняя арифметическая отклонений вариантов от средней арифметической равна нулю: или .

g) Средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков:

h) .

i) Если ряд состоит из нескольких групп, то общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются объемы групп:

Структурные или порядковые средние:

Медианой вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Модой вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Показатели вариации:

1. Вариационный размах .

2. Среднее линейное отклонение – средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариантов от их средней арифметической: .

3. Дисперсия .

4. Среднее квадратическое отклонение .

5. Коэффициент вариации: равен процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической .

Основные свойства дисперсии, аналогичные свойствам дисперсии случайной величины:

a. Дисперсия постоянной равна нулю.

b. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число к, то дисперсия увеличится (уменьшится в раз): .

c. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то дисперсия не изменится.

d. Дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов вариантов и квадратом средней арифметической: .

e. Если ряд состоит из нескольких групп наблюдений, то общая дисперсия равна сумме средней арифметической групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии: , - межгрупповая дисперсия; - средняя арифметическая групповых дисперсий.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Опр. Оценкой параметра называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной Х (иначе статистику), с помощью которой судят о значении параметра : .

Оценка в отличие от оцениваемого параметра является случайной величиной.

Например, для оценки математического ожидания нормального распределения служит функция – среднее арифметическое наблюдаемых значений признака.

Несмещенной называют статистическую оценку (тета), математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е.

.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Пояснение. Пусть - стат. оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Беря разные выборки одного и того же объема получаем оценки , которые различны между собой. - как случайная величина, а ее значения. Если дает приближенное значение с избытком, тогда каждое найденное значение больше истинного значения . Тогда и . Если дает оценку с недостатком, то . Таким образом, использование такой оценки привело бы к систематическим (одного знака) ошибкам.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

или

Примеры оценок: выборочная дисперсия есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии; выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервалов.

Оценка будет тем точнее оценивать параметр , если , где очень маленькое.

характеризует точность оценки.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность , с которой осуществляется неравенство .

Наиболее часто задают надежность равную 0,95; 0,99; 0,999.

Вероятность того, что , равна запишется или . То есть интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр с вероятностью .

Доверительным интервалом называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном .

Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину . Математическое ожидание этих величин равно и среднее квадратическое отклонение .

Если случайная величина Х распределена нормально, то выборочная средняя , найденная по независимым наблюдениям также распределена нормально.

Параметры распределения .

Пусть выполняется соотношение , с заданной надежностью .

Используя функцию Лапласа . Сделав соответствующую замену, получим .

То есть доверительный интервал покрывает неизвестный параметр , точность оценки . Число t определяется по таблице функции Лапласа . Таким образом, получаем интервал

(4.1)

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .

На практике почти всегда генеральная дисперсия неизвестна.

В этом случае используется следующая формула для построения доверительного интервала:

, (4.2)

где - статистика Стьюдента с уровнем надежности и числом степеней свободы ; - смещенная оценка среднего квадратического отклонения.

Пример 56. Для контроля срока службы электроламп из большой партии было отобрано 17 электроламп. В результате испытаний оказалось, что средний срок службы отобранных ламп равен 980 ч., а среднее квадратическое отклонение их срока службы – 18 ч. Найти доверительный интервал для среднего срока службы с вероятностью 0,95.

Решение. По формуле (4.2) найдем доверительный интервал. По данным задачи . По таблице Стьюдента находим .

Тогда .

. То есть с надежностью 0,95 средний срок службы электроламп в партии заключен от 970,5 до 989,5 ч.

5. Контрольная работа по теории вероятностей и математической статистике (в задачах 1-12 значения параметров берутся по вариантам из таблицы 2, в 13 задаче из таблицы1)

1. В книжной лотерее разыгрывается n книг. В урне имеется N билетов. Первый подошедший к урне вынимает m билетов. Определить вероятность того, что все m билетов окажутся выигрышными.

2. В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной a.

3. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны p₁ и р₂. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик, и вероятность того, что при пожаре сработает ровно один датчик.

4. В тире имеется 5 различных по точности винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0.5,0.55,0.7,0.75 и P. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки? Попадание произошло. Чему равна вероятность того, что была выбрана первая винтовка?

5. Вероятность того, что баскетболист при броске попадет в корзину, равна р. Определить вероятность того, что, сделав n бросков, он m раз попадет.

6. Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна р. Определить вероятность того, что в партии из N деталей будет ровно 3 бракованных; не более 3-х.

7. В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между m₁ и m₂.

8. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно два вызова; более двух.

9. Случайная величина Х задана рядом распределения

Х1	-1
Р1	р	1-2р	р

a. Найти . Найти МХ, DX.

10. Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=2X+3 (X задана в предыдущей задаче).

11. Ошибка взвешивания – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратичным отклонением, равным n грамм. Найти вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю N грамм.

12. Проверив n изделий в партии, обнаружили, что m изделий высшего сорта, а n-m – нет. Сколько надо проверить изделий, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0,01?

13. Для исследования признака генеральной совокупности по результатам наблюдений получен интервальный статистический ряд. Требуется:

1) Построить гистограмму относительных частот.

2) Интервальный ряд преобразовать в дискретный, найти эмпирическую функцию распределения и её график.

3) Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию .

4) Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормально распределённого признака генеральной совокупности.

Таблица 1. Данные для задачи №13

Частичные интервалы   № варианта	1-3	3-5	5-7	7-9	9-11	11-13
Частоты
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Таблица 2. Данные для задач №№1-12

№ за- дания     Вариант
n	N	m	r	a	p1	p2	P	n	m	p	p	N	n	m1	m2	N	p	n	N	n	m
						0,7	0,9	0,9			0,2	0,001						0,1	1г	2г
						0,6	0,7	0,7			0,1	0,001						0,15	2г	4г
						0,7	0,9	0,75			0,1	0,001						0,45	3г	6г
						0,6	0,8	0,6			0,1	0,001						0,25	4г	8г
Продолжение таблицы 2
						0,7	0,8	0,65			0,2	0,001						0,3	5г	10г
						0,4	0,5	0,55			0,2	0,001						0,35	6г	12г
						0,5	0,7	0,5			0,2	0,001						0,4	7г	14г
						0,6	0,9	0,45			0,2	0,001						0,45	8г	16г
						0,6	0,5	0,4			0,1	0,001						0,1	9г	18г
						0,4	0,6	0,35			0,2	0,001						0,15	10г	20г

Литература:

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / В.Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2009. – 478 с.

2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие / В.Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2006. – 404 с.

3. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3: Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для втузов / под ред. А.В. Ефимова. – 2-е изд. – М.: Наука, 1990. – 428 с.

4. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер. – 3-е изд. перераб.и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 551с.