Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция у =f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция у =f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f '(х₀) = 0.

Теорема Ролля. Пусть функция у = f(х) удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на отрезке [а, b];

2. дифференцируема на интервале (а,b);

3. на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(а)= f(b);

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная функции равна нулю.

Если f(а)= f(b)= 0, то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.