Непрерывность функции в точке

Понятие непрерывности функции является фундаментальным в математическом анализе.

Опр. Функция называется непрерывной в точке а, если:

4. она определена в точке а;

5. имеет конечный предел при ;

6. предел этой функции в точке а и ее значение в этой точке равны, т.е. .

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке устанавливает следующая теорема.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Пример – функция , она непрерывна в точке x=0, но не имеет производной в этой точке. Требование дифференцируемости функции является более сильным, чем требование непрерывности.