Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

1) Уравнение не содержит явно y, его вид или .

Здесь применяется подстановка - вводится новая функция старой переменной. Уравнение сводится к уравнению первого порядка .

Пример. Найти общее решение уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

- общее решение. Найдем частное решение. . Частное решение .

2) Уравнение не содержит явно x, его вид или .

Здесь применяется подстановка - вводится новая функция новой переменной. Уравнение сводится к уравнению первого порядка .

Пример. Найти общее решение уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Либо - решение, либо ,

- общее решение.

Найдем частное решение. ,

- частное решение.

2) Однородное уравнение относительно .

Уравнение называется однородным относительно , если при замене уравнение не изменится.

Здесь применяется подстановка .

Пример. Найти общее решение уравнения

- решение. ,

- общее решение.

3) Уравнения, обе части которых являются полными производными каких-либо функций.

Пример. .

Запишем уравнение в виде

Существуют еще несколько случаев, которые встречаются реже и здесь не рассматриваются.