Понятие об особых точках и особых решениях дифференциального уравнения первого порядка

Точка (x, y) называется не особой точкой дифференциального уравнения первого порядка , если существует ее окрестность, что через каждую точку этой окрестности проходит единственная интегральная кривая.

Все прочие точки называются особыми точками дифференциального уравнения первого порядка .

Особым решением называется решение, все точки (x, y) которого – особые.

Пример.

Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получим общее решение и решение, не принадлежащее этому семейству – тривиальное решение .

Каждая точка оси OX – особая, так как через нее проходят как тривиальное решение, так и частное решение из семейства .

- особое решение.

Пример.

Заметим, что . Общее решение (иначе ). Кроме того, - тоже решение. - особое решение.

Заметим, что на особом решении не выполняются условия теоремы Коши, гарантирующие единственность. В самом деле, в том и другом примерах терпят разрыв при .