Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Рассмотрим два типа уравнений 1) .

Метод введения параметра.

Обозначим

В случае 1) , .

Найдем решение , подставим в ,

получим - общее решение.

В случае 2)

Найдем решение , подставим в ,

получим - общее решение.

Уравнение Лагранжа.

Дифференцируем:

,

- линейное уравнение.

Отыскиваем и, подставляя в уравнение Лагранжа, находим .

Пример. - уравнение Лагранжа.

,

- линейное уравнение по .

Решаем его методом подстановки

.

Уравнение Клеро. .

Уравнение Лагранжа превращается в уравнение Клеро, если в уравнении Лагранжа положить .

Дифференцируем обе части:

.

1) - общее решение.

2) . Подставляя в уравнение, получим особое решение

Пример.

1) - общее решение

2) - особое решение.