Рассмотрим примеры получения доказуемых формул

1. Доказать, что (эту формулу называют рефлексивностью импликации).

Воспользуемся аксиомой

и выполним подстановку . Тогда получим

(1)

Применяя правило заключения к аксиоме и формуле (1), получим

(2)

В формуле (2) осуществим подстановку

В результате получим доказуемую формулу

(3)

Применяя правило заключения к аксиоме IV₂и формуле (3), получим

(4)

Наконец, осуществив подстановку в формуле (4) вместо формулы , получим

2. Доказать, что . Возьмем аксиому и выполним в ней последовательно две подстановки, заменяя сначала на , а затем на . В результате получим доказуемую формулу

(1)

Выполнив подстановку , получим

(2)

Покажем, что формулы

; (3)

(4)

доказуемы.

Возьмем аксиому и выполним подстановку в результате получим

(5)

Применяя к аксиоме и формуле (5) правило заключения, получаем, что формула (3) доказуема.

Возьмем аксиому и в ней переобозначим на и на , тогда она примет вид Для нее выполним подстановку

и получим

(6)

Применяя к аксиоме III₂ и формуле (6) правило заключения, устанавливаем доказуемость формулы (4).

Применяя правило заключения к формулам (3) и (2), получим доказуемую формулу

(7)

Применяя правило заключения к формулам (4) и (7), получим доказуемость исходной формулы.