Понятие формулы исчисления высказываний

Описание всякого исчисления включает в себя описание символов этого исчисления (алфавит), и формул, являющихся конечными конфигурациями символов, а также определение выводимых (доказуемых) формул.

Алфавит исчисления высказываний состоит из символов трех категорий.

1.Символы Символами

в исчислении высказываний обычно обозначают переменные высказывания, а символами ¯ постоянные высказывания. В чем различие между постоянными и переменными высказываниями? Постоянное высказывание – фиксировано, т.е. если мы обозначим буквой высказывание “число ”, то этой буквой никакое другое высказывание обозначить мы уже не можем. Если же мы обозначим буквой какое-нибудь высказывание, например: “сумма углов треугольника равна 180⁰”, то этой же буквой мы можем обозначить любое другое высказывание. Поэтому и называют переменным высказыванием; и чтобы отличать постоянное высказывание от переменного, последнее иногда называют высказывательным переменным.

2. Символы логических операций которые, как и в алгебре логики называются соответственно отрицанием, конъюнкцией, дизъюнкцией и импликацией.

3. Круглые скобки

Для сокращения обозначения высказываний будем также пользоваться большими буквами латинского алфавита. Эти буквы не являются символами исчисления высказываний. Они представляют собой только условные обозначения высказываний.

Дадим теперь определение формулы исчисления высказываний:

1) всякое переменное или постоянное высказывание является формулой,

2) если А и В – формулы, то предложения

– также формулы,

3) никакая другая последовательность символов не является формулой.

Таким образом, если и – формулы, то предложения – тоже формулы. Формулами будут также предложения Очевидно, что предложения не являются формулами.

В исчислении высказываний, так же как и в алгебре логики, для сокращения записи формул вводятся упрощения, а именно: опускаются скобки с учетом такого же приоритета выполнения операций. Так, вместо будем писать соответственно.