I. Дифференциал функции

Опр. Дифференциал функции называется главная линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .

1. Понятие дифференциала:

Пусть функция , определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Тогда существует конечная производная =f’(x).

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами ф-ций можно записать

Где -бесконечно малая величина при , откуда .

Таким образом, приращение ф-ции состоит из двух слагаемых: 1)линейного относительно ;2) нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого прядка, чем , ибо =0).

Орп. Дифференциалом ф-ции называется главная, линейная относительно часть приращения ф-ции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .

Дифференциал ф-ции независимой переменой равен приращению этой переменной. Т.к.

Прим. Найти диффрнц. ф-ции . Решение: , откуда .

Поэтому формулу для дифференцирования ф-ции можно записать в виде , откуда еперь мы видим, что не просто символическое обозначение производной, а обычная дробь с числителем и знаменателем .

Т.е. геометрический смысл дифференцируемости f (x) в точке х

₀ состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей

на касательной стремится к нулю "быстрее", чем ∆х.