Реализация. В данном разделе в качестве примера по вышеизложенной методике представлено моделирование некоторого предприятия

В данном разделе в качестве примера по вышеизложенной методике представлено моделирование некоторого предприятия.

В качестве показателей эффективности функционирования предприятия выбраны 3 результативных экономических показателей (откликов)– . Также выбрано 15 производственно-экономических факторов, влияющих на них, – . Эти отклики и факторы представляют собой совокупность переменных - . Перечень переменных приведен в таблице 2.1.

Таблица 2.1. Перечень переменных

Код переменной	Наименование переменной
х1	Численность населения района, включая города (тыс. человек)
х2	Среднесписочная численность работающих (человек)
х3	Среднемесячная заработная плата рабочих в экономике (рублей)
х4	Средний размер вклада в государственных и коммерческих банках в расчёте на душу населения (на конец года, рублей)
х5	Ввод в действие жилых домов за счёт всех источников финансирования (кв.м)
х6	Плотность автомобильных дорог с твёрдым покрытием общего пользования в расчёте на 100 кв.км территории (на конец года, км)
х7	Обеспеченность населения общей площадью жилья (кв.м на 1 жителя)
х8	Основные средства (рублей)
х9	Незавершённое строительство (кв.м)
х10	Запасы сырья (рублей)
х11	Дебиторская задолжность (рублей)
х12	Кредиторская задолжность (рублей)
х13	Денежные средства (рублей)
х14	Долги перед персоналом (рублей)
х15	Операционные расходы (рублей)
у1	Чистая прибыль(убыток) отчётного периода (рублей)
у2	Себестоимость проданных товаров, продукции, работ, услуг (рублей)
у3	Валовая прибыль (рублей)

Поквартальные значения статистических данных за 2002-2007 годы по переменным таблицы 2.1 приведены в таблице 2.2

В таблице 2.2 количество строк равно количеству поквартальных значений по функционированию предприятия по всем рассматриваемым переменным. По столбцам таблицы 2.2 записаны значения, принимаемые переменными в поквартальных отчетах.

Примем допущение, что статистические данные таблицы 2.2 являются случайными величинами, и применим к ним математические методы статистической обработки данных и их анализа. Основные характеристики случайных величин представлены в табл.2.3.

По таблице оценок математических ожиданий, средних квадратических отклонений, эксцессов и асимметричностей можно сделать следующее предварительное заключение о подчинении исходных статистических данных нормальному закону.

Отношение стандартной ошибки к среднему для 6 переменных (что составляет 30%) не превышает рекомендуемое значение 0,05.

Сравнивая разницу между медианой и средней с удвоенной стандартной ошибкой, делаем следующие выводы: у 18 факторов из 20, что составляет 90%, разница не превышает рекомендуемое значение в две стандартные ошибки.

Сравнивая удвоенное значение стандартной ошибки асимметрии и эксцесса с вычисленными значениями асимметрии и эксцесса соответственно можно сказать, что для 12 факторов из 20, что составляет 60%, асимметрия не превышает удвоенного значения стандартной ошибки; и для 15 факторов из 20, что составляет 75%, эксцесс не превышает удвоенного значения стандартной ошибки эксцесса.

Учитывая выше сказанное, делаем вывод, что можно не отвергать гипотезу о нормальности распределения по трём критериям, основанных на основных статистических характеристиках ИСД. В то же время целесообразно провести проверку по критерию согласия Колмогорова-Смирнова.

Таблица 2.2. Исходные статистические данные

	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9	х10	х11	х12	х13	х14	х15	у1	у2	у3
2002/1	233,7		995,0	1157,0	56941,0	201,0	18,2									-122
2002/2	228,5		1096,1	1275,6	80325,0	208,6	18,6									-125
2002/3	217,7		1540,0	2450,0	78975,2	207,1	18,8									-138
2002/4	218,1		1355,8	2650,0	75000,0	211,2	19,0									-1138
2003/1	217,3		940,0	2100,0	77533,0	214,6	19,8									-8000
2003/2	219,8		1070,0	1784,4	76520,0	223,8	19,6									-424000		-390000
2003/3	202,8		1390,0	1949,5	75490,0	230,8	19,9
2003/4	192,9		1919,5	2480,0	71000,0	232,0	19,9
2004/1	193,6		1910,0	2276,0	70686,0	232,0	19,9
2004/2	194,3		2223,4	2100,0	69526,4	235,0	20,1									-209000
2004/3	183,4		2790,0	2800,4	65140,0	233,7	20,3									-21500
2004/4	178,8		3190,0	4200,0	66826,7	239,1	20,4
2005/1	173,5		2776,0	4200,0	65020,0	242,9	20,3
2005/2	160,6		2875,2	3681,7	61600,0	242,2	20,4
2005/3	140,5		2700,0	3530,0	62777,2	243,4	20,4
2005/4	161,3		3500,0	4410,7	67190,0	239,1	20,3
2006/1	157,4		3387,0	4680,0	71390,0	241,4	20,3
2006/2	164,9		3730,0	3650,0	58727,8	241,7	20,2
2006/3	156,7		3772,8	4530,0	53760,0	245,6	20,1
2006/4	150,6		4340,0	5100,0	51340,0	246,6	19,6
2007/1	147,4		4670,0	6844,5	49480,0	247,4	18,9									-435000		-199000
2007/2	135,5		5030,0	6980,0	53328,5	244,6	18,9									-44000
2007/3	128,0		4557,0	8580,0	51978,6	238,8	18,8									-38000		-139000
2007/4	132,6		4762,3	8815,0	50628,8	242,7	18,2									-29000		-140000

Выскажем гипотезу, что исходные данные, представленные в таблице 2.2 подчинены нормальному закону и в качестве параметров нормального закона примем оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения, представленные в табл. 2.3. Эмпирическая и гипотетическая функции распределения построены в системе STATISTICA и окончательный вывод о «нормальности» исходных данных сделан по графикам, аналогичным графику, представленному на рис.1.3.2, поэтому описывать их еще раз не целесообразно.

По результатам проверки на нормальность можно сказать, что в 9 случаях из 18, что составляет 50%, ИСД подчинены нормальному закону по критерию Колмогорова-Смирнова. Неподчинение нормальному закону некоторых переменных можно объяснить сравнительно небольшим количеством учитываемых интервалов времени и сравнительно небольшим количеством ИСД, изменяющихся за исследуемый интервал времени.

Из 15-ти факторов (исходных статистических данных), проверенных на «нормальность» по критерию Колмогорова-Смирнова для 14 получены положительные результаты, а так же для всех семи показателей эффективности, т.е. коэффициент доверия для них превышает рекомендованный 28% уровень, т.е. значение 0,28, что также подтверждается и графическим сравнением эмпирических и гипотетических функций распределения.

С учетом предварительного анализа по эксцессам и асимметрии примем допущение, что все исходные статистические данные распределены по нормальному закону. Сделанный вывод позволяет для дальнейшего исследования применить математический аппарат статистической обработки, разработанный для данных, подчиняющихся нормальному закону, специально не оговаривая эти условия.

Для анализа качества функционирования предприятия будем использовать элементы регрессионного, корреляционного и дисперсионного анализа.

Корреляционная матрица представлена в табл.2.4.

Проанализируем связность показателей эффективности между собой. Результаты анализа таблицы 2.4 позволяют сделать следующие обобщенные выводы:

Во-первых, коэффициенты линейной корреляции между результативными показателями эффективности и факторами примерно в половине случаев по абсолютной величине превышают критическое значение (4). Поэтому уравнения регрессии могут содержать в себе факторы в первой степени, а также в виде функций от факторов.

Во-вторых, коэффициенты линейной корреляции между факторами в большинстве случаев превышают по абсолютной величине найденное критическое значение и достигают значения более 0,8. В таких случаях можно ожидать, что некоторые факторы могут не входить в уравнения регрессии и оказывать влияние на отклики через другие факторы с сильной корреляционной связью между ними.

В третьих, коэффициенты линейной корреляции между результативными показателями эффективности в некоторых случаях превышают по абсолютной величине найденное критическое значение (4).

Таблица 2.3. Основные статистические характеристики ИСД

	Сред- нее	Медиа-на	Разница между медианой и средней	Мини-мум	Макси-мум	Стан-дартная ошибка	Отношение стандартной ошибки к среднему	Стандартное отклонение	Асимметрия	2*Стандарт-ные ошибки асимметрии	Эксцесс	2*Стандартная ошибка эксцесса
х1			-3		233,7	6,7	0,03735		0,14397	0,94452	-1,23621	1,835554
х2						570,6	0,01097		-1,24023	0,94452	0,72134	1,835554
х3						271,7	0,09803		0,16530	0,94452	-1,24345	1,835554
х4			-253			438,1	0,11402		1,03604	0,94452	0,44173	1,835554
х5						2021,0	0,03107		-0,14059	0,94452	-1,27636	1,835554
х6					247,4	2,9	0,01230		-1,09225	0,94452	-0,07653	1,835554
х7					20,4	0,2	0,00769		-0,67278	0,94452	-0,97607	1,835554
х8			-110886			70234,0	0,03657		1,22308	0,94452	1,17452	1,835554
х9						492460,1	0,16344		-0,19898	0,94452	-2,11407	1,835554
х10			-557841			310897,2	0,22393		1,85307	0,94452	3,13727	1,835554
х11			-488232			545545,8	0,19221		0,67423	0,94452	-0,77866	1,835554
х12			-1099737			869798,9	0,18324		0,66602	0,94452	-0,48351	1,835554
х13			-271378			151148,8	0,50515		3,06949	0,94452	9,20872	1,835554
х14			-65309			37249,9	0,24476		2,94039	0,94452	7,94399	1,835554
х15			-75304			23621,7	0,23668		0,99219	0,94452	-0,00085	1,835554
у1			-13993	-435000		39772,8	1,60294		-0,52716	0,94452	1,57956	1,835554
у2			-1650853			629951,5	0,21867		0,72804	0,94452	-1,14736	1,835554
у3			-82895	-390000		60874,6	0,41909		1,09433	0,94452	1,97309	1,835554

Таблица 2.4. Коэффициенты линейной корреляции между переменными

	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	Х9	Х10	Х11	Х12	Х13	Х14	Х15	У1	У2	У3
Х1	1,00	0,74	-0,93	-0,87	0,77	-0,89	-0,15	0,79	-0,90	-0,58	-0,75	-0,54	0,01	-0,51	-0,77	0,14	0,79	0,39
Х2	0,74	1,00	-0,85	-0,92	0,78	-0,48	0,46	0,28	-0,66	-0,55	-0,37	-0,18	0,18	-0,71	-0,71	0,03	0,78	0,11
Х3	-0,93	-0,85	1,00	0,91	-0,83	0,82	-0,01	-0,69	0,86	0,66	0,62	0,45	-0,03	0,49	0,79	0,05	0,78	0,28
Х4	-0,87	-0,92	0,91	1,00	-0,76	0,66	-0,24	-0,52	0,77	0,48	0,50	0,26	-0,13	0,71	0,78	0,36	0,78	0,08
Х5	0,77	0,78	-0,83	-0,76	1,00	-0,62	0,20	0,42	-0,71	-0,65	-0,44	-0,31	0,02	-0,47	-0,64	0,00	0,71	0,10
Х6	-0,89	-0,48	0,82	0,66	-0,62	1,00	0,47	-0,91	0,83	0,58	0,70	0,64	0,15	0,24	0,59	0,15	0,61	0,31
Х7	-0,15	0,46	-0,01	-0,24	0,20	0,47	1,00	-0,67	0,24	0,12	0,38	0,62	0,30	-0,44	-0,08	0,35	0,09	0,32
Х8	0,79	0,28	-0,69	-0,52	0,42	-0,91	-0,67	1,00	-0,80	-0,54	-0,75	-0,74	-0,09	-0,07	-0,54	-0,38	-0,50	-0,38
Х9	-0,90	-0,66	0,86	0,77	-0,71	0,83	0,24	-0,80	1,00	0,64	0,82	0,74	0,01	0,28	0,74	-0,21	-0,68	-0,25
Х10	-0,58	-0,55	0,66	0,48	-0,65	0,58	0,12	-0,54	0,64	1,00	0,43	0,54	-0,12	0,16	0,57	-0,38	-0,55	-0,15
Х11	-0,75	-0,37	0,62	0,50	-0,44	0,70	0,38	-0,75	0,82	0,43	1,00	0,74	-0,16	0,09	0,66	0,27	-0,42	0,13
Х12	-0,54	-0,18	0,45	0,26	-0,31	0,64	0,62	-0,74	0,74	0,54	0,74	1,00	0,27	-0,07	0,37	-0,31	0,33	-0,25
Х13	0,01	0,18	-0,03	-0,13	0,02	0,15	0,30	-0,09	0,01	-0,12	-0,16	0,27	1,00	-0,04	-0,13	-0,20	0,08	-0,16
Х14	-0,51	-0,71	0,49	0,71	-0,47	0,24	-0,44	-0,07	0,28	0,16	0,09	-0,07	-0,04	1,00	0,48	-0,11	-0,60	-0,18
Х15	-0,77	-0,71	0,79	0,78	-0,64	0,59	-0,08	-0,54	0,74	0,57	0,66	0,37	-0,13	0,48	1,00	0,09	0,67	0,02
У1	0,14	0,03	0,05	0,36	0,00	0,15	0,35	-0,39	-0,21	-0,38	0,27	-0,31	-0,20	-0,11	0,09	0,24	0,01	0,35
У2	0,79	0,78	0,78	0,78	0,71	0,61	0,09	-0,50	-0,68	-0,55	-0,42	0,33	0,08	-0,60	0,67	0,01	1,00	0,16
У3	0,39	0,11	0,28	0,08	0,10	0,31	0,32	-0,38	-0,25	-0,15	0,13	-0,25	-0,16	-0,18	0,02	0,35	0,16	1,00

Проведенный анализ позволяет сделать заключение о нецелесообразности линейного регрессионного анализа, т.к., во-первых, между показателями эффективности и факторами сравнительно мало попарных коэффициентов корреляции близких к «линейным», во-вторых, имеется сравнительно много случаев сильной взаимосвязи факторов между собой и поэтому в уравнения регрессии желательно ввести их произведения. Поэтому выберем нелинейный регрессионный анализ на базе процедуры пошаговой регрессии ППП STATISTICA 6.0. для получения зависимостей показателей эффективности от влияющих на них факторов

Для сокращения числа переменных (редукции данных) и определения структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификации переменных проведем факторный анализ, как метод сокращения данных или как метод классификации.

В результате факторного анализа отобрали пять общих факторов, для которых собственные значения и факторные нагрузки представлены в таблицах 2.5 и 2.6 соответственно.

Таблица 2.5. Собственные значения факторов

Факторы	Собственные значения	% общей дисперсии	Кумулятивные собств. знач.	Кумулятивный %
F1	8,548425	56,98950	8,54842	56,98950
F2	3,014207	20,09471	11,56263	77,08421
F3	1,101831	7,34554	12,66446	84,42975
F4	0,743183	4,95456	13,40765	89,38431
F5	0,491108	3,27406	13,89875	92,65836

Как можно видеть, первый фактор (F ₁) объясняет 57% общей дисперсии, второй фактор (F₂) – 20%, третий фактор (F₃) – 7% и т.д. Четвертый столбец содержит накопленную или кумулятивную дисперсию. Пятый столбец содержит накопленный процент от общей дисперсии.

Таблица 2.6. Факторные нагрузки после вращения

Код переменной	Факторные нагрузки
F1	F2	F3	F4	F5
x1	-0,742180	-0,527280	-0,020878	0,219507	-0,308299
x2	-0,893404	0,078187	-0,096007	0,336201	-0,155674
x3	0,778873	0,384262	0,024120	-0,387970	0,220696
x4	0,927648	0,203589	0,098185	-0,158847	0,167873
x5	-0,703504	-0,131615	0,033353	0,566774	-0,111095
x6	0,473010	0,781758	-0,096448	-0,271500	0,207363
x7	-0,446764	0,826717	-0,194133	0,021175	0,208586
x8	-0,265519	-0,871459	0,009117	0,188794	-0,331613
x9	0,700090	0,474684	-0,005962	-0,342582	0,545475
x10	0,277518	0,247031	0,084296	-0,845754	0,221901
x11	0,286981	0,490544	0,199550	-0,078074	0,763270
x12	0,009466	0,500006	-0,278509	-0,306528	0,710161
x13	-0,053997	0,114939	-0,980025	0,045166	-0,011252
x14	0,873664	-0,127675	-0,059042	0,157523	-0,080388
x15	0,700536	0,162003	0,144964	-0,209397	0,476353

Из таблицы 2.6 следует, что факторы , соответствующие подсвеченным ячейкам, относятся к общим факторам .

Таким образом, выделением пяти общих факторов удалось объяснить 92% общей дисперсии всех факторов, что вполне достаточно. После проведения корреляционного и факторного анализов получены уравнения регрессии для трех результативных показателей эффективности _j. Руководствуясь постановкой задачи, приведенной в разделе 1.6, получаем уравнения регрессии (10-12):

	(10)
	(11)
	(12)

Проведем анализ степени влияния факторов на выручку чистая прибыль (убыток) отчётного периода – y₁ (рис. 2.1, рис 2.2.) и оптимизацию с максимизацией чистой прибыли за счет выбора оптимальных значений факторов .

Рис.2.1. Круговая диаграмма удельных весов факторов, влияющих на изменение у₁

Рис.2.2. Гистограмма коэффициентов эластичности факторов, влияющих

на изменение у₁

Полученные диаграммы позволяют сделать вывод, что сильное положительное влияние на чистую прибыль оказывают: х₂ – среднесписочная численность работающих; х₃ – среднемесячная заработная плата в экономике; х₁₁ – дебиторская задолженность; сильное отрицательное влияние на чистую прибыль оказывают: х₈ – основные средства; х₁₀ – запасы сырья; х₁₄ – долги перед персоналом.

Аналогично можно проанализировать степень влияния на остальных результативные факторы.

По полученным уравнениям регрессии проведем оптимизацию как задачу нахождения максимального значения чистой прибыли – у₁, за счет выбора оптимальных значений факторов х_i, i= при ограничениях на другие показатели эффективности и факторы.

(13)

При ограничениях на остальные показатели эффективности:

(14)

156,7 350,55;

50387 82830;

3772,8 7545;

4530 13222,5; (15)

53760 120487,5;

245,6 371,1;

20,1 30,6;

1544000 1614000;

38520 5166000;

172356 5619000;

2770000 12253210,5;

92000 6861000;

1000 307000;

41667 119988;

201935 582540.

Пределы изменения факторов приняты в диапазонах изменения факторов, которые были ранее достигнуты за исследуемый период времени.

Поставленная задача относится к разделу математического программирования. Для ее решения используем методы оптимизации Ньютона и сопряженных градиентов и воспользуемся модулем «ПОИСК РЕШЕНИЯ» в ППП MICROSOFT EXCEL 2003 (см. раздел 1.8).

Для оптимизации возьмем функцию (10) у₁ – целевая функция. Результаты оптимизации сведены в таблицу 2.7.

Таблица.2.7. Оптимальные значения факторов

Имя	Исходное значение	Результат
х1	156,7	156,7
х2		59865,93
х3	3772,8	4527,56
х4	4530,0
х5	53760,0	53951,80
х6	245,6	248,77
х7	20,1	21,22
х8
х9
х10
х11		2988615,65
х12		6638836,67
х13		85594,12
х14		60494,03
х15
у1
у2
у3

Анализируя результаты оптимизации, можно сказать, что для увеличения прибыли предприятия необходимо:

- улучшение городских показателей (х₁-х₇);

- увеличение дебиторской задолженности (х₁₁) и операционных расходов (х₁₅);

- уменьшение запасов сырья (х₁₀); кредиторской задолженности (х₁₂) и долгов предприятия перед персоналом (х₁₄).

Результативные показатели эффективности укладываются в рассчитанные для них ограничения (14). Оптимизируемые факторы при проведении оптимизации попадают в диапазоны достигнутых ранее результатов по шестилетней деятельности предприятия (ограничения (15)), поэтому будем считать, что вычисленные оптимальные значения факторов вполне достижимы.

Следует отметить, что предложенным методом оптимизации можно найти оптимальные значения факторов для случаев, когда факторы выходят за пределы установленных диапазонов и таким образом как бы проверить эффективность принятия управленческих решений.

Заключение

Математические основы представленной методики преподаются на лекциях в КГТУ им. А.Н. Туполева, программное обеспечение осваивается на лабораторных занятиях. Она применяется для выполнения курсовых работ, выпускных работ бакалавров, и дипломных проектов. Она может успешно использоваться на практике для выработки и проверки управляющих решений на предприятиях промышленного назначения, транспорта и связи.

Список литературы

1. Боровиков В.П., Боровиков И.П. «STATISTICA-Статитстический анализ и обработка данных в среде WINDOWS» –М.: Информационно-издательский дом «Филин»,1997.-608 с.

2. Боровиков В.П. «Популярное введение в программу STATISTICA» - М.: Компьютер Пресс,1998.-267 с.

3. Доутгерти К. «Введение в эконометрику» Пер. с англ.- М.: ИНФРА-Н,1997.-402 с.

4. Елисеева И.Н., Юзбашев М.М. «Общая теория статистики»: Учебник/ Под ред. Елисеевой И.Н.-М.: Финансы и статистика,1995.-368 с.

5. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. «Основы методов оптимизации»-М.: Изд-во МАИ,1995.-344 с.

6. Персон Р. «Microsoft Excel 97»Т1/Пер. с англ. - СПб.: BHV-Санкт-Петербург,1997.-347 с.

7. Персон Р. «Microsoft Excel 97»Т2/Пер. с англ. - СПб.: BHV-Санкт-Петербург,1997.-365 с.