Понятие о моментах распределения

В математической статистике под моментом k-го порядка понимается среднее арифметическое k-ой степени отклонения отдельных вариантов от какой-то постоянной величины A. Если A – любое произвольное число, то момент k-го порядка можно записать в общем виде: .

Если принять, что A = 0, то момент называетсяся начальным и определяется в общем виде формулой: .

Начальный момент первого порядка равен среднему арифметическому. Начальные моменты 2,3,4-го порядков не имеют самостоятельных значений, а используются для упрощения вычисления центральных моментов. Обычно при анализе рядов распределения ограничиваются расчетом первых 4-х порядков.

Если (среднему арифметическому), то момент называется центральным и определяется по формуле: .

Центральный момент первого порядка равеннулю, второго порядка – дисперсии. Центральный момент третьего порядка служит мерой асимметрии распределения, т.к. для симметричных рядов всегда: . Центральный момент четвертого порядка служит для вычисления показателя эксцесса.

Чтобы можно было сравнить асимметричность в разных рядах, центральный момент 3-го порядка сопоставляется со средним квадратическимотклонением (С.К.О.) в кубе. Найденное отношение, называемое нормированным моментом 3-го порядка, принимается в качестве показателя асимметрии: , где A_s –коэффициент асимметрии Пирсона; – среднее арифметическое; М_о – мода; ϭ –С.К.О.

При симметричном распределении A_s = 0. Если A_s> 0, то это правосторонняя асимметрия, если A_s< 0 – левосторонняя. A_s может изменяться от –3 до +3.

Для симметричного распределения может быть рассчитан показатель эксцесса: . Если E_x = 0, то распределение будет симметричным, если E_x< 0, то распределение плосковершинное, если E_x> 0 – островершинное.