Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону

В данном пункте были рассмотрены грубо приближенные методы построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. Для точного нахождения интервалов совершенно необходимо знать заранее вид закона распределения величины Х, тогда как для применения приближенных методов это не обязательно. Идея точных методов построения доверительных интервалов сводится к следующему. Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения некоторых неравенств, в которые входит оценка . Закон распределения оценки в общем случае зависит от самих неизвестных параметров величины Х. Однако иногда удается перейти в неравенствах от случайной величины к какой-либо другой функции наблюдаемых значений Х ₁, Х ₂,…, Х_n, закон распределения которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов n и от вида закона распределения величины Х. Наиболее подробно такие случайные величины изучены для случая нормального распределения величины Х.

Доказано, что при нормальном распределении величины Х случайная величина , где , , подчиняется закону распределения Стьюдента с n –1 степенями свободы; плотность этого закона имеет вид , где Г(х) – известная гамма-функция .

Доказано также, что случайная величина имеет распределение «хи-квадрат» (Пирсона) с n –1 степенями свободы; плотность которого выражается формулой .

Для построения доверительного интервала для мат.ожидания в равенстве (*) от случайной величины необходимо перейти к случайной величине Т, распределенной по закону Стьюдента. Доверительный интервал в этом случае выражается формулой ; величина находится из условия . Существуют таблицы значений в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы n –1.

Выразим случайную величину через величину V, имеющей распределение , тогда доверительный интервал для дисперсии выражается формулой , где и соответственно левый и правый концы интервала , в который величина V попадает с заданной вероятностью .