Гармонический анализ сезонных колебаний

Особое место при анализе сезонных колебаний занимает выравнивание с помощью ряда Фурье, в котором уровни можно выразить как функцию времени следующим уравнением:

.

То есть сезонные колебания уровней динамического ряда можно представить в виде синусоидальных колебаний. Поскольку последние представляют собой гармонические колебания, то синусоиды, полученные при выравнивании по ряду Фурье, называют гармониками различных порядков (показатель k в этом уравнении определяет число гармоник). Обычно при выравнивании по ряду Фурье рассчитывают несколько гармоник (чаще не более 4) и затем уже определяют, с каким числом гармоник ряд Фурье наилучшим образом отражает изменения уровней ряда.

При выравнивании по ряду Фурье периодические колебания уровней динамического ряда представлены в виде суммы нескольких синусоид (гармоник), наложенных друг на друга.

Так, при k=1 ряд Фурье будет иметь вид: ,

а при k=2, соответственно,

и так далее.

Параметры уравнения теоретических уровней, определяемого рядом Фурье, находят, как и в других случаях, методом наименьших квадратов. Приведем без вывода формулы, используемые для исчисления параметров ряда Фурье:

; ; .

Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением (приростом), равным , где n – число уровней эмпирического ряда.

Например, при n=10 временные точки t можно записать следующим образом:

,

или (после сокращения)

; ; ; ; ; ; ; ; .

При n=12 значения t, соответственно будут

; .

Значения и удобно расположить в таблице (для двух гармоник):

В следующей таблице приведены исходные данные (графы 1 и 2) и расчет показателей, необходимых для получения уравнений первой и второй гармоники (k=1 и k=2).

Искомое уравнение первой гармоники имеет вид

.

В шестой графе получены теоретические значения объема продажи зимней одежды по месяцам. Очевидно, что они значительно отличаются от эмпирических. Поэтому определим уравнение второй гармоники, т.е.

.

В девятой графе получены теоретические значения , которые более близки к эмпирическим уровням, чем . Об этом свидетельствует и сумма квадратов отклонений теоретических значений от эмпирических (итого двух последних столбцов). После выбора оптимального уравнения, естественно, что его нужно проверить на адекватность с помощью критерия Фишера. В нашем примере F_Р1 =14,45> F_Т =4,26, F_Р2 =7,60> F_Т =4,12 значит обе модели адекватны и их можно использовать для прогнозирования. Графическое отображение на следующей диаграмме свидетельствует о более точном представлении во второй гармонике.

Аналогично рассчитываются параметры уравнения с применением третьей и четвертой гармоник и проверяют близость теоретических значений к эмпирическим.