Интервальные оценки. На практике ограничиться нахождением «хороших» точечных оценок бывает обычно недостаточно

На практике ограничиться нахождением «хороших» точечных оценок бывает обычно недостаточно. Приближенное равенство лишь указывает на то, что вместо неизвестного параметра можно использовать известное значение оценки . Однако важно знать (хотя бы в вероятностном смысле) величину совершаемой при этом ошибки. Для этого прибегают к построению интервальных оценок неизвестных параметров.

Пусть наблюдаемая величина имеет функцию распределения , зависящую от неизвестного параметра . При интервальном оценивании параметра ищут две такие статистики и ( и - случайные величины!), для которых при заданном выполняется соотношение

.

В этом случае интервал называют - доверительньм интервалом для параметра , число - доверительной вероятностью (надежностью, коэффициентом доверия), и - нижней и верхней доверительными границами соответственно.

Таким образом, -доверительный интервал — это случайный интервал, зависящий от выборки (но не от ), который содержит (накрывает) истинное значение неизвестного параметра с вероятностью . На практике обычно используют значения доверительной вероятности из небольшого набора близких к 1 значений (0,9; 0,95; 0,98; 0,99 и т. д.) и строят соответствующие им доверительные интервалы.

Построение доверительных интервалов для отдельных параметров распределения генеральной совокупности зависит как от вида закона распределения, так и от того, являются известными значения остальных параметров распределения или нет.

· Если наблюдаемая случайная величина имеет нормальный закон распределения с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией , то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

,

где - выборочное среднее; - объем выборки; число - такое значение аргумента функции Лапласа при котором . Находят число по заданной доверительной вероятности из табл. П2.

Квантилью, соответствующей вероятности , называется такое значение , при котором выполняется соотношение

,

где – плотность вероятностей соответствующего закона распределения (слово квантиль – женского рода). Геометрическое пояснение смысла квантили, отвечающей вероятности , приведено на рис. 2.

Рис. 2. Геометрическое пояснение смысла квантили ,

отвечающей вероятности

В этой терминологии число есть (1+g)/2 - квантиль стандартного нормального N (0,1) закона распределения.

· Если наблюдаемая случайная величина имеет нормальный закон распределения с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией , то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

где - выборочная дисперсия; ; - объем выборки; число – - квантиль распределения Стьюдента с
(n —1) степенью свободы. Находят квантиль по заданным и из табл. ПЗ.

При больших (практически при ) распределение Стьюдента приближается (в смысле слабой сходимости) к стандартному нормальному закону распределения, поэтому в этом случае .

· Доверительный интервал для дисперсии наблюдаемой случайной величины , распределенной по нормальному закону , при известном математическом ожидании имеет вид:

где числа есть квантили распределения хи - квадрат с n степенями свободы соответственно. Квантили распределения хи - квадрат находят по заданным и из табл.П4.

· Доверительный интервал для дисперсии наблюдаемой случайной величины , распределенной по нормальному закону , при неизвестном математическом ожидании имеет вид:

где - выборочная дисперсия, а – соответствующие квантили распределения .

При больших (практически при ) с использованием центральной предельной теоремы можно показать, что приближенным (асимптотическим) доверительным интервалом для дисперсии нормально распределенной случайной величины с неизвестным математическим ожиданием является интервал

Фактически это означает, что для квантилей распределения хи - квадрат и при имеют место приближенные формулы:

Если распределение наблюдаемой случайной величины произвольное (не обязательно нормальное), то, используя асимптотическую нормальность выборочных моментов, можно показать, что при больших объемах выборки приближенными (асимптотическими) доверительными интервалами для математического ожидания и дисперсии являются:

где - выборочное среднее; - выборочная дисперсия; ; - выборочный центральный момент четвертого порядка.

Замечание: Все приведенные доверительные интервалы, рассчитанные для заданной выборки , являются обычными числовыми интервалами, внутри которых неизвестный параметр находится в 100% случаев.