Теоретические сведения. 1. 1. Выборка. Эмпирическая функция распределения

1.1. Выборка. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма.
Выборочные числовые характеристики

В математической статистике имеют дело со стохастическими экспериментами, состоящими в проведении повторных независимых наблюдений над некоторой случайной величиной , имеющей неизвестное распределение вероятностей, т.е. неизвестную функцию распределения
. В этом случае множество всех возможных значений наблюдаемой случайной величины называют генеральной совокупностью, имеющей функцию распределения . Числа , являющиеся результатом независимых наблюдений над случайной величиной , называют выборкой из генеральной совокупности или выборочными (статистическими) данными. Число наблюдений называется объемом выборки.

Основная задача математической статистики состоит в том, как по выборке , извлекая из нее максимум информации, сделать обоснованные выводы относительно вероятностных характеристик наблюдаемой случайной величины .

Замечание: Выборка является исходной информацией для статистического анализа и принятия решений о неизвестных вероятностных характеристиках наблюдаемой случайной величины . Однако на основе конкретной выборки обосновать качество статистических выводов принципиально невозможно. Для этого на выборку следует смотреть априорно как на случайный вектор , координаты которого являются независимыми, распределенными так же как и , случайными величинами, и который еще не принял конкретного значения в результате эксперимента. Переход от выборки конкретной к выборке случайной будет неоднократно использоваться далее при решении теоретических вопросов и задач для получения выводов, справедливых для любой выборки из генеральной совокупности.

В зависимости от дальнейших целей существует несколько способов представления статистических данных. Простейший из них - в виде статистического ряда:

Номер наблюдения	1 2 …
Результат наблюдения	…

Если среди выборочных значений имеются совпадающие, то статистический ряд удобнее записывать в виде таблицы, называемой таблицей частот:

Выборочные значения			…
Частоты			…
Относительные частоты			…

где - различные значения среди ; - частота значения ; - относительная частота значения . Очевидно, что . Поэтому совокупность пар называют эмпирическим законом распределения.

Выборочные значения , упорядоченные по возрастанию, носят название вариационного ряда:

,

где , .

Величина называется размахом выборки.

Эмпирической функцией распределения, соответствующей выборке
, называется функция

,

где - индикатор множества , а - число выборочных значений, не превосходящих .

Для заданной выборки эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами обычной функции распределения: принимает значения между 0 и 1, является неубывающей и непрерывной слева. График имеет ступенчатый вид, причем:

если все значения различны, то

при , , ;

если - различные значения среди , то

.

Принципиальное отличие эмпирической функции распределения от обычной функции распределения состоит в том, что она может изменяться от выборки к выборке и притом случайным образом. Важнейшим свойством эмпирической функции распределения как случайной функции (см. замечание выше) является то, что она для любого при увеличении объема выборки сближается (в смысле сходимости по вероятности) с истинной функцией распределения . Поэтому говорят, что эмпирическая функция распределения является статистическим аналогом (оценкой) неизвестной функции распределения , которую называют при этом теоретической.

Если - выборка объема из генеральной совокупности, имеющей непрерывное распределение с неизвестной плотностью вероятностей , то для получения статистического аналога следует предварительно произвести группировку данных. Она состоит в следующем:

1. По данной выборке строят вариационный ряд

.

2. Промежуток разбивают точками на непересекающихся интервалов (на практике ).

3. Подсчитывают частоты попадания выборочных значений в -ый интервал .

4. Полученную информацию заносят в следующую таблицу, которую называют интервальным статистическим рядом:

Интервалы			…
Частоты			…
Относительные частоты			…

Очевидно, что . Поэтому совокупность пар , где - середина интервала , называют эмпирическим законом распределения, полученным по сгруппированным данным.

Далее в прямоугольной системе координат на каждом интервале как на основании длиной строят прямоугольник с высотой . Получаемую при этом ступенчатую фигуру называют гистограммой.

Поскольку при больших в соответствии с теоремой Бернулли , где - истинная вероятность попадания случайной величины в интервал , а , то справедливо приближенное равенство . Поэтому верхняя граница гистограммы является статистическим аналогом (оценкой) неизвестной плотности вероятностей .

Ломаная с вершинами в точках называется полигоном частот и для гладких плотностей является более точной оценкой, чем гистограмма. Пример гистограммы и полигона частот приведен на рис.1.

На практике при группировке данных обычно берут интервалы одинаковой длины соnst, а число интервалов группировки определяют с помощью так называемого правила Стургерса, согласно которому полагается .

Рис. 1. Гистограмма и полигон частот

Пусть - выборка из генеральной совокупности, имеющей функцию распределения . Аналогично тому, как теоретической функции распределения ставят в соответствие эмпирическую функцию распределения , любой теоретической характеристике можно поставить в соответствие ее статистический аналог - выборочную (эмпирическую) числовую характеристику g*, определяемую как среднее арифметическое значений функции g (х) для элементов выборки :

.

В частности, выборочный начальный момент -го порядка есть величина

.

При k = 1 величину называют выборочным средним и обозначают :

.

Выборочный центральный момент -го порядка есть величина

.

При величину называют выборочной дисперсией и обозначают :

.

Между выборочными начальными и выборочными центральными моментами сохраняются те же соотношения, что и между теоретическими. Например, справедливо равенство

,

являющееся аналогом известного равенства

.

Являясь для заданной выборки числами, в общем случае выборочные числовые характеристики являются случайными величинами и обозначаются соответствующими заглавными буквами:

; ; ;

; .

В связи с этим можно ставить вопрос о нахождении закона распределения выборочных числовых характеристик и их числовых характеристиках.

Располагая только сгруппированными данными, можно определить аналог эмпирической функции распределения следующим образом:

.

Для вычисления выборочных моментов -го порядка по сгруппированным данным используются формулы:

.

В частности, выборочное среднее и выборочная дисперсия по сгруппированным данным определяются с помощью формул:

.