Числові нерівності, властивості істинних числових нерівностей

Означення. Два числові вирази а і b, сполучені знаками «>» (більше) або «<» (менше) називають числовою нерівністю:

a > b або a < b – числові нерівності.

Наприклад. 45 > 23 + 12; 5 · 7 < 5 · 8; 200 < 300 – 100.

Нерівності – це також висловлення, які можуть бути істинними або хибними.

Властивості істинних числових нерівностей

Відношення «менше» на множині R володіє властивостями:

1) антисиметричності: ,

2) транзитивності: ;

3) монотонність додавання: ;

(Якщо до обох частин істинної числової нерівності додати один і той же числовий вираз, який має смисл, то отримаємо також істинну числову нерівність.)

4) монотонність множення:

(Якщо обидві частини істинної числової нерівності помножимо на один і той же числовий вираз, який має смисл і приймає додатні значення, то отримаємо також істинну числову нерівність).

5) монотонність множення:

(Якщо обидві частини істинної числової нерівності помножимо на один і той же числовий вираз, який має смисл і приймає від’ємні значення, то, щоб отримати істинну числову нерівність, необхідно знак нерівності змінити на протилежний).