Дроби та їх властивості

Означення. Символ , де т і п натуральні числа, називають дробом, т – чисельник дробу і п – знаменник.

Дріб означає, що одна п -на частина одиниці виміру е міститься т разів у відрізку а, тобто одиничний відрізок розділили на п рівних частин і взяти т таких частин. Це записується так: а = е,

Дріб є мірою довжини відрізка а при одиниці довжини е.

Повернемось до випадку 2) а = е, це не єдиний розв’язок, бо якщо поділимо е на 6 рівних частин, то отримаємо а = е і т.д.

Тобто, довжина відрізка а може бути виражена нескінченною множиною дробів: , , , …

Означення. Дроби, які виражають довжину одного і того ж відрізка при одиниці довжини е, називаються рівними.

Якщо дроби і рівні, то записують = .

Необхідна і достатня умова рівності дробів

Два дроби і рівні тоді і тільки тоді, коли виконується умова mq=np, тобто = mq=np

Доведення.

а) Доведемо, що = mq=np

Для будь-якого натурального числа q = , а для будь-якого натурального числа п = . Тоді з рівності дробів і випливає = . Оскільки знаменники цих дробів рівні, то і чисельники їх будуть рівні: mq=np.

б) Доведемо тепер, навпаки, що mq=np = . Розділимо обидві частини mq=np на натуральне число nq, тоді отримаємо . Але , . Тоді, = .

Рівні дроби вважають різними записами одного і того ж числа, а саме число називають додатним раціональним числом.

Дріб – це лише форма зображення числа. Дробове число можна зобразити (записати) різними рівними дробами:

Дроби , … зображають зовсім інші числа: і ін.

Для будь-якого додатного раціонального числа існує один і тільки один нескоротний дріб, що є записом цього числа.

Множина додатних раціональних чисел – це множина натуральних чисел в об’єднанні з множиною дробових чисел. Множину додатних раціональних чисел позначають Q₊. Множина натуральних чисел є підмножиною множини додатних чисел, тобто N Q₊.

Дріб, чисельник якого менший від знаменника, називається правильним; дріб, чисельник якого більший або дорівнює знаменнику, називається неправильним. Наприклад, – правильні; – неправильні дроби.

Дріб , чисельник і знаменник якого є числа взаємно прості, тобто D(т;п)=1, називається нескоротним дробом.

Основна властивість дробу: Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на те саме натуральне число, то дістанемо дріб, що дорівнює даному: , де k – натуральне число.

Застосування основної властивості дробу:

· скорочення дробів (заміна даного дробу іншим, що дорівнює йому, але з меншим чисельником і знаменником);

· зведення дробів до спільного знаменника (це заміна дробів рівними їм дробами, що мають однакові знаменники).

·

Наприклад.

1. Скоротити дріб .

1-ий спосіб: чисельник і знаменник дробу ділити послідовно на спільні прості дільники: , (2; 9) = 1

2-ий спосіб: знайти НСД чисельника і знаменника та поділити чисельник і знаменник відразу на їх НСД.

НСД (18; 81) = = 9

, (2; 9) = 1.

2. Звести до найменшого спільного знаменника дроби:

а)

Знаменники цих дробів попарно взаємно прості. Тому НСК (3; 7; 10; 11) = =3 · 7 · 10 · 11 = 2310

Тоді

б)

64:8 і 64:32, тому НСК (8; 32; 64) = 64.

Тоді

в)

Маємо скоротні дроби, перед зведенням їх до найменшого спільного знаменника потрібно ці дроби скоротити.

Скоротимо ці дроби:

НСК (5; 6; 30) = 30

Отже,

г) і

15 = 3 · 5, 35 = 5 · 7

НСК (15; 35) = 3 · 5 · 7 = 105.

Тоді

3. Побудувати відрізок, довжина якого виражена числом

Побудова:

1) обираємо одиницю довжини е

2) ділимо відрізок е на 4 рівні частини

3) відкладаємо на промені Ох 13 відрізків, кожний з яких дорівнює четвертій частині відрізка е.

Отримаємо відрізок ОА, довжина якого виражена числом

Поняття дробу вводять в початкових класах. За програмою з математики в 2 класі передбачено ознайомлення з частинами числа: половиною, третиною, чвертю, п’ятою частиною. В 3 класі учні розуміють сутність поняття частина числа; знаходять половину, третину, четверту на інші частини від числа, число за його частиною. В 4 класі розділ «Дроби». Тут за одиницю беруть відрізок, круг, прямокутник, зокрема квадрат, смужки та ін. Наприклад, круг ділять на 8 рівних частин і виділяють частину круга, Вводять поняття чисельника і знаменника дробу: число під рискою означає, на скільки рівних частин поділено ціле, його називають знаменником дробу. Число над рискою означає, скільки взято рівних частин. Це число називають чисельником дробу.

Учні записують і читають дроби; знаходять дріб від числа та число за його дробом; порівнюють дроби з однаковими знаменниками.