Поняття про вимірювання відрізків. Розширення множини цілих невід’ємних чисел

Порівняння двох відрізків і дії над ними не завжди можна виконувати безпосередньо. Наприклад, один відрізок прямої з’єднує Москву і Київ, а другий Одесу і Мінськ. Як можна порівняти ці відрізки між собою? Як знайти їх суму, різницю?

Для цього потрібно виміряти ці відрізки, тобто знайти довжину кожного з них або відстань між їх кінцями.

Виміряти якусь величину — це означає порівняти її з іншою величиною такого ж роду, прийнятою за одиницю виміру.

Вимірювання величин, зокрема таких, як довжина, площа, об’єм, маса, час, виникло з практичних потреб людини в давні часи.

Для того, щоб уявити собі процес вимірювання, виберемо будь-який відрізок за одиничний, а за одиницю виміру довжини візьмемо довжину е цього відрізка. Тоді, щоб виміряти відрізок а, більший за одиничний, послідовно відкладатимемо одиничний відрізок на відрізку а (від його початку). Може бути два випадки:

1) одиничний відрізок вкладається в а всього n разів, де n — натуральне число. Тоді число n називають мірою відрізка а при оди­ниці виміру е і записують: а = nе.

2) одиничний відрізок е не вкладається ціле число разів у відріз­ку а, тобто не існує такого натурального числа n, щоб а = ne.

При цьому може трапитись, що, поділивши одиничний відрізок на п рівних частин, дістанемо нову одиницю виміру е₁ = , яка вкладається у відрізку а ціле число разів, наприклад т разів, тобто а=т ·е₁ = т ·

Цілком зрозуміло, що і при вимірюванні дрібнішими одиницями довжина не кожного відрізка виражатиметься натуральним числом. Звідси видно, що вимірювання довжин відрізків разом із діленням відрізка (або натурального числа, що є кількісною характеристикою певної скінченної множини) на рівні частини приводить до необхід­ності розширення множини цілих невід’ємних чисел введенням дро­бових чисел.