Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне натуральних чисел, способи їх знаходження

Означення: Спільним дільником натуральних чисел а і b називається натуральне число, яке є дільником кожного з даних чисел.

Означення: Найбільшим спільним дільником натуральних чисел а і b називається найбільше число з усіх спільних дільників даних чисел і позначається НСД (а, b) або Д (а, b).

Візьмемо два числа 12 і 18. Дільники числа 12 є: 1, 2, 3, 4, 6, 12, а числа 18 – 1, 2, 3, 6, 9, 18. Спільні дільники чисел 12 і 18: 1, 2, 3, 6. Серед них найбільшим спільним дільником є число 6.

Найбільший спільний дільник має такі найпростіші властивості:

1. Для будь-яких натуральних чисел а і b існує єдиний НСД. Справді, множина спільних дільників чисел а і b не порожня, бо вона має принаймні число 1, крім того вона скінченна. Тому серед її елементів знайдеться єдине число, яке є НСД (а, b).

2. НСД (а, b) не перевищує меншого з даних чисел, тобто якщо а < b, то НСД (а, b) ≤ а.

3. НСД (а, b) ділиться на будь-який їхній спільний дільник. Справді, нехай НСД (а, b) = d а d₁ – будь-який їхній спільний дільник. Тоді а=dq, d=dq₁, де числа q і q₁ мають спільним дільником тільки 1. Отже, спільний дільник d₁ чисел а і b є дільником їхнього найбільшого спільного дільника d.

4. Якщо а b, то НСД (а, b) = b.

Означення: Якщо НСД(а₁,а₂,…, а_k) =1, то числа а₁,а₂,…, а_k називаються взаємно простими. Якщо, крім того, кожна пара цих чисел взаємно проста, то числа а₁,а₂,…, а_k називаються попарно взаємно простими.

Так числа 4, 6, 7 – взаємно прості, НСД(4,6,7) =1. Проте вони не є попарно взаємно простими, НСД(4,6) = 2.

Означення: Спільним кратним натуральних чисел а і b називається натуральне число, кратне кожному з даних чисел.

Означення: Найменшим спільним кратним натуральних чисел а і b називається найменше число з усіх спільних кратних даних чисел. Найменше спільне кратне позначається НСК (а, b) або К (а, b).

Візьмемо числа 12 і 18. Кратними числа 12 є: 12, 24, 36, …, а кратними числа 18 – 18, 36, 54, … Числа 12 і 18 мають спільні кратні 36, 72, …Серед них найменше – 36. Отже НСК(12, 18) = 36.

Найменше спільне кратне має такі найпростіші властивості:

1. Для будь-яких натуральних чисел а і b існує єдине НСК.

2. Найменше спільне кратне чисел а і b не менше більшого з даних чисел, тобто якщо а> b, то НСК(а, b) ≥ а.

3. Кожне спільне кратне даних чисел а і b ділиться на найменше спільне кратне цих чисел.

4. Якщо а b, то НСД (а, b) = а.

Теорема: НСД(а,b) є найменшим спільним кратним усіх спільних дільників чисел а і b.