Стандартные задачи

3.1.1. Прямолинейное движение тела вдоль оси описывается уравнениями:

1) ; ; ;

2) ; ; ;

3) ; ; ;

4) ; ; ;

5) ; ; ;

6) ; ;

7) ; ; ;

8) ; ; ; ;

9) ; ; ;

10) ; ; ;

11) ; ; ;

12) ; ; ;

13) ; ; ;

14) ; ; .

Для момента времени определить координату, мгновенную скорость и мгновенное ускорение тела. Найти среднюю скорость и среднее ускорение за первые четыре секунды движения.

3.1.2. Заданы начальная координата точки , ее начальная скорость и переменное ускорение . Совпадают ли путь и модуль перемещения для момента времени ? Совпадают ли направления векторов скорости и перемещения в этот момент времени? Записать уравнение движения точки и определить координату точки через первые 2 с движения.

1) ; ; ; ;

2) ; ; ; ; ;

3) ; ; ; ; ;

4) ; ; ; ;

5) ; ; ; ; ;

6) ; ; ; ;

7) ; ; ; ; ;

8) ; ; ; ;

9) ; ; ; ; ;

10) ; ; ; ; ;

11) ; ; ; ; ;

12) ; ; ; ; ;

13) ; ; ; ;

14) ; ; ; .

3.1.3. Записать кинематические уравнения движения тела и уравнение траектории для каждого из случаев, представленных на рис. 3.1–3.14. На каждой позиции рисунков изображены координатные оси, указаны начальное положение (точка А) тела, его начальная скорость и ускорение свободного падения .

3.1.4. Найти нормальное и тангенциальное ускорение тела в начальный момент времени и через 1 с после начала движения для каждого из случаев, представленных на рис. 3.1–3.14.

Начальные условия: ;

рис. 3.1. ;

рис. 3.2. ; ;

рис. 3.3. ; ;

рис. 3.4. ; ;

рис. 3.5. ;

рис. 3.6. ; ;

рис. 3.7. ; ;

рис. 3.8. ; ;

рис. 3.9. ; ;

рис. 3.10. ;

рис. 3.11. ; ;

рис. 3.12. ; ;

рис. 3.13. ; ;

рис. 3.14. ; ; .

3.1.5.

1) Самолет, летевший на высоте 2940 м со скоростью 360 км/ч, сбросил бомбу. За какое время до прохождения над целью и на каком расстоянии от нее по горизонтали должен самолет сбросить бомбу, чтобы попасть в цель?

2) С какой скоростью бомба в условиях предыдущей задачи упадет на землю?

3) Мяч бросили со скоростью 10 м/с под углом к горизонту. Определить дальность полета и время движения камня.

4) С башни высотой 25 м бросили горизонтально камень со скоростью 15 м/с. Определить время движения камня, дальность его полета и скорость в момент падения на землю.

5) Какой угол составит траектория камня с горизонтом в условии предыдущей задачи?

6) Камень брошен горизонтально со скоростью 15 м/с. Через какое время скорость камня будет в 1,5 раза больше его начальной скорости?

7) Камень брошен горизонтально. Через 0,5 с его скорость увеличилась в 2 раза. С какой начальной скоростью брошен камень?

8) Камень брошен под углом к горизонту со скоростью 10 м/с. Определить время, за которое скорость камня уменьшится в 1,5 раза?

9) Футболист бьет 11-метровый штрафной удар так, что мяч взлетает под углом к горизонту. Когда вратарь ловит мяч, скорость мяча составляет с горизонтом угол . Какова скорость мяча сразу после удара?

10) Из пушки выстреливается снаряд со скоростью 100 м/с под углом к горизонту. На какую максимальную высоту поднимется снаряд? Какова скорость снаряда в верхней точке?

11) С башни высотой 25 м бросили камень со скоростью 15 м/с под углом к горизонту. Определить время движения камня и дальность его полета.

12) С какой скоростью камень упадет на землю в условиях предыдущей задачи?

13) Из пушки, стоящей на холме, составляющем с горизонтом, производят выстрел в горизонтальном направлении. Начальная скорость снаряда 100 м/с. Снаряд приземляется на склон того же холма. Найти время полета снаряда и расстояние от пушки до точки приземления.

14) Миномет установлен под углом к горизонту на крыше дома высотой 40 м. Начальная скорость мины 60 м/с. Определить время и горизонтальную дальность полета мины.

3.1.6. Колесо радиуса 0,5 м вращается вокруг оси так, что зависимость угла поворота от времени имеет вид:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) .

Определить угловую скорость, угловое ускорение, линейную скорость, нормальное, тангенциальное и полное ускорения точки, лежащей на ободе колеса, через 2 с после начала движения. Какова размерность коэффициентов в каждом случае?

3.1.7. Колесо, вращаясь с постоянным угловым ускорением, изменило частоту вращения от до , совершив оборотов. Определить ускорение колеса. За какое время частота вращения изменилась от до и от до , если угловое ускорение колеса останется неизменным?

1) ; ; ; .

2) ; ; ; .

3) ; ; ; .

4) ; ; ; .

5) ; ; ; .

6) ; ; ; .

7) ; ; ; .

8) ; ; ; .

9) ; ; ; .

10) ; ; ; .

11) ; ; ; .

12) ; ; ; .

13) ; ; ; .

14) ; ; ; .

Качественные вопросы и задачи

3.2.1. Тело движется из точки А в точку В по траектории, показанной на рис. 3.15. Укажите направления скорости и ускорения тела в точке С при ускоренном, замедленном и равномерном движении тела.

3.2.2. Диск равнозамедленно вращается относительно оси, проходящей через его центр, по часовой стрелке. Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения диска?

3.2.3. Материальная точка движется равномерно по окружности из точки А в точку В (рис. 3.16). Покажите направления вектора средней скорости и вектора среднего ускорения точки.

3.2.4. Тело, брошенное с вышки под углом к горизонту, приземлилось в точке А, показанной на рис. 3.17. Как направлен вектор средней скорости тела?

3.2.5. Материальная точка движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением в направлении, показанном на рис. 3.16. Как направлен вектор полного ускорения в точке С при ускоренном и замедленном движении? Одинаковы ли значения полного ускорения в точках С и D?

3.2.6. Тело движется с постоянным по величине и направлению ускорением. Всегда ли в этом случае его движение прямолинейно?

3.2.7. Материальная точка движется равномерно по криволинейной траектории, показанной на рис. 3.15. В какой точке траектории ускорение максимально?

3.2.8. Точка М движется равномерно по свертывающейся плоской спирали (рис. 3.18). Как изменяется модуль ускорения точки?

3.2.9. У подножия горы санкам сообщена скорость, в результате чего они въезжают на горку до точки В, а затем начинают скользить обратно (рис. 3.19). Как направлены в точке А нормальное и тангенциальное ускорения?

3.2.10. Шарик на длинной нити совершает гармонические колебания, за полупериод перемещаясь из точки А в точку Е (рис. 3.20). Укажите направления нормального и тангенциального ускорений в точках А, В, С, D, E. В каких точках обращается в нуль: а) нормальное ускорение; б) тангенциальное ускорение? В каких точках эти ускорения максимальны?

3.2.11. Обруч катится равномерно без проскальзывания со скоростью (рис. 3.21). Как направлены векторы скорости и ускорения точек А, В, С, D?

3.2.12. Зависимость пройденного пути от времени для двух точек, движущихся прямолинейно, представлена на рис. 3.22 кривыми а и б. Какая из кривых соответствует ускоренному, а какая – замедленному движению?

3.2.13. На рис. 3.23 представлена зависимость скорости материальной точки, движущейся прямолинейно, от времени. В какой момент времени ускорение точки максимально?

3.2.14. Точка движется по плоской расширяющейся спирали так, что ее нормальное ускорение остается постоянным. Как изменяются при этом линейная и угловая скорости? Как направлено тангенциальное ускорение?

3.2.15. На рис. 3.24 представлен график зависимости координаты от времени для точки, движущейся прямолинейно вдоль оси . Постройте графики зависимости пути и скорости от времени.

3.2.16. На рис. 3.25 представлен график зависимости ускорения материальной точки, движущейся прямолинейно, от времени. Постройте графики зависимости скорости и пути от времени. Начальная скорость точки равна нулю.

3.2.17. Шарик проходит без трения подъем и впадину (рис. 3.26). Сравните модули средней скорости шарика на траекториях АВС и СDE, если время их прохождения одинаково.

3.2.18. Тело брошено вертикально. График проекции скорости тела на вертикальную ось изображен на рис. 3.27. Вверх или вниз направлены: а) начальная скорость тела; б) координатная ось?

3.2.19. Может ли зависимость пути от времени соответствовать графикам а, б, с, представленным на рис. 3.28?

3.2.20. Какая величина определяется интегралом ?

3.2.21. Материальная точка, двигаясь равномерно, прошла четверть окружности радиусом 1 м за 2 с (рис. 3.29). Определить: а) чему равны приращения модулей скорости и ускорения; 2) чему равны модули приращения скорости и ускорения; 3) куда направлены приращения скорости и ускорения точки?

3.2.22. При каком движении частицы выполняется равенство ?

3.2.23. Частица прошла окружность радиуса за время . Какова средняя скорость частицы?

3.2.24. Угол между векторами скорости и ускорения в некоторый момент равен . Каково движение тела в этот момент (прямолинейное или криволинейное, равномерное, ускоренное или замедленное), если: а) ; б) ; в) ; г) ?