Примеры решения задач. Ниже в качестве примера приведены задачи по кинематике

Ниже в качестве примера приведены задачи по кинематике. Ознакомившись с их решением, студенты могут перейти к решению задач для индивидуальной подготовки и после самостоятельного решения задач, приведенных в задании, подготовиться к контрольной работе на эту тему. Ответы на качественные вопросы помогут студентам глубже понять протекающие физические процессы, подготовиться к практическим занятиям и выполнению работ лабораторного практикума по теме «Кинематика» с последующим обсуждением результатов эксперимента.

Пример 1. Кинематическое уравнение движения точки по прямой (ось ) имеет вид , где , , . Для момента определить координату точки , мгновенные скорость и ускорение . Определить среднюю скорость за первые две секунды движения и среднее ускорение за это время.

Решение. Необходимо определить параметры движения по кинематическому уравнению (прямая задача кинематики). Она решается последовательным применением уравнений (2.23; 2.7; 2.13; 2.4). Подставляя в уравнение движения , получаем координату в указанный момент времени

.

Мгновенная скорость точки в этот момент равна

.

Знак «минус» показывает, что в момент времени направление вектора скорости не совпадает с положительным направлением оси .

Ускорение

.

Знак «минус» в этом случае указывает на то, что в заданный момент времени векторы скорости и ускорения имеют противоположное направление.

Средняя скорость (модуль вектора средней скорости)*

(обратите внимание на различие и ).

Среднее ускорение

(обратите внимание на то, что и также отличаются друг от друга).

Ответ: ; ; ; ; .

*Примечание. Кроме указанной в задаче средней скорости рассматривают среднюю путевую скорость , определяемую отношением пути S ко времени t, за которое пройден этот путь. Самостоятельно убедитесь в том, что эти скорости не равны (см. пример 2).

Пример 2. Ускорение материальной точки, движущейся вдоль оси , изменяется по закону: , где , . Начальная скорость , начальная координата . Запишите уравнение движения точки, определите ее координату, скорость, перемещение и пройденный точкой путь через t = 3 с после начала движения.

Решение. Определение вида кинематического уравнения движения по известному параметру (в данном случае это ускорение) является обратной задачей кинематики. Из уравнений (2.16) и (2.11) находим вид зависимости скорости точки от времени

и вид зависимости координаты точки от времени (кинематическое уравнение движения)

.

Подставляя в записанные уравнения значение времени , получаем значения скорости и координаты

; .

Модуль вектора перемещения

(определите самостоятельно, совпадает ли направление вектора перемещения с положительным направлением оси ).

Поскольку начальная скорость точки положительна, а конечная – отрицательна, это значит, что скорость в процессе движения меняет знак, и путь не равен модулю вектора перемещения. Решая уравнение относительно , и учитывая, что время положительно, определяем его значение , при котором скорость обращается в нуль.

Тогда пройденный путь равен

.

Ответ: ; ; ; .

Пример 3. Для случая, представленного на рис. 2.5, записать:

1) кинематическое уравнение движения точки А;

2) ее уравнения движения в проекциях на оси и : и ;

3) уравнение траектории .

На рисунке изображены координатные оси, указано начальное положение точки , начальная скорость и ускорение, равное ускорению свободного падения .

Решение. Поскольку ускорение свободного падения постоянно по величине и направлению, движение является равноускоренным и описывается уравнением (2.22):

,

где – радиус-вектор начального положения точки.

В проекциях на оси и получаем:

; .

В данной задаче (ускорение свободного падения направлено перпендикулярно оси ), (знак «минус» показывает, что направление вектора ускорения свободного падения не совпадает с положительным направлением оси ), , , , .

Таким образом, уравнения движения в проекциях на оси и имеют вид:

; .

Исключая время из двух последних уравнений, получаем уравнение траектории:

.

Ответ: ; ; ; .

Пример 4. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через промежуток времени камень упал на землю на расстоянии от основания вышки. Определить высоту вышки , начальную и конечную скорости камня, нормальное и тангенциальное ускорения камня, а также радиус кривизны R траектории в начальный момент времени и в момент падения камня на землю.

Решение. Ситуация, описанная в условии, представлена на рис. 2.6.

Выбирая систему координат так, как показано на рисунке, и используя метод составления уравнений движения, представленный в предыдущей задаче, получаем уравнения движения:

;

.

В момент падения камня на землю его координаты , . Поэтому уравнения движения принимают вид:

; .

Из этих уравнений определяем начальную скорость камня и высоту башни .

Для расчета проекций , скорости на координатные оси и ее значения дифференцируем и по времени (2.7, 2.8):

, в момент падения ;

, в момент падения ;

, в момент падения .

В начальный момент времени полное ускорение перпендикулярно скорости , поэтому , . Чтобы найти нормальное и тангенциальное ускорение в момент падения, воспользуемся рис. 2.6, на котором изображены компоненты скорости и , полная скорость , тангенциальное , нормальное и полное ускорение в момент падения камня на землю. Из рисунка видно, что

,

где – угол между и (или, соответственно, между и ). Поэтому значения тангенциального и нормального ускорения

;

.

Радиус кривизны траектории определяется формулой (2.19). В начальный момент времени , и . В момент падения камня на землю , и .

Следует отметить, что начало координат и направления координатных осей можно было бы выбрать иным образом. Например, поместить начало координат в точку бросания и направить ось вниз. Уравнения движения в этом случае изменятся, но результаты, естественно, останутся прежними.

Ответ: ; ; ; в начальный момент времени – , , ; в момент падения на землю – , , .

Пример 5. Определить угловое ускорение тела, если после полных оборотов частота его вращения изменилась от до .

Решение. Полное число оборотов N и частота вращения связаны с углом поворота и угловой скоростью соотношениями:

; .

Считая, что начальный угол , и, учитывая, что по условию задачи , запишем уравнения движения равноускоренно вращающегося тела (2.29):

,

; .

Решая совместно эти уравнения, получаем:

.

Ответ: .