Кинематики

В приведенных ниже основных положениях кинематики курсивом выделены определения и формулы, необходимые для решения задач и подготовки к экзамену.

Физическая система может состоять из одного идеального объекта – материальной точки (тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь) или содержать большое число элементов, положение которых в процессе движения не изменяется (твердое тело).

Положение материальной точки в пространстве определяют ее координатами (например, координаты x, y, z в декартовой системе координат) или задают радиус-вектор этой точки (рис. 2.1). Радиус-вектор точки – это вектор, проведенный из начала координат в данную точку.

Как видно из рис. 2.1, проекции радиуса-вектора на оси X, Y, Z – это координаты данной точки. Поэтому радиус-вектор можно представить в виде

,

где , , – единичные векторы (орты), направленные, соответственно, вдоль осей X, Y, Z.

Движение материальной точки можно описать при помощи векторного уравнения

(2.1)

или тремя скалярными уравнениями:

, , , (2.2)

которые называют кинематическими уравнениями движения.

Вектор перемещения или просто перемещение материальной точки за время – это вектор , проведенный из положения точки в момент времени (начальное) в положение, в котором она находится в момент времени (конечное). Как видно из рис. 2.2, перемещение равно приращению радиуса-вектора за рассматриваемый промежуток времени:

. (2.3)

Необходимо различать вектор перемещения и пройденный путь. Путь – это скалярная величина, равная расстоянию, пройденному по траектории за указанный промежуток времени.

Вектором средней скорости называется отношение перемещения к промежутку времени

. (2.4)

Направления вектора средней скорости и вектора перемещения совпадают.

Мгновенная скорость (скорость) равна первой производной радиус-вектора по времени

. (2.5)

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории (рис. 2.3). Если и , то модуль вектора скорости

. (2.6)

Из уравнения (2.5) видно, что проекции вектора скорости на координатные оси X, Y, Z равны:

; ; , (2.7)

модуль вектора скорости определяется соотношением

(2.8)

Из уравнений (2.5)–(2.7) получаем кинематические уравнения движения материальной точки:

(2.9)

или в проекциях на координатные оси

; ; ; (2.10)

а путь, пройденный материальной точкой за время ,

. (2.11)

Ускорением точки называется вектор , равный производной вектора скорости этой точки по времени

. (2.12)

Проекции вектора ускорения на координатные оси X, Y, Z:

; ; ; (2.13)

и модуль вектора ускорения через его проекции записывается в виде

. (2.14)

Из уравнений (2.12), (2.13) можно выразить зависимость вектора скорости и его компонент от времени:

; (2.15)

; ; . (2.16)

В некоторых случаях удобнее разложить вектор ускорения на две составляющие, одна из которых параллельна или антипараллельна скорости (), а другая – перпендикулярна скорости () (см. рис. 2.3). Вектор называют тангенциальным ускорением, его модуль характеризует изменение скорости по величине:

. (2.17)

Вектор называют нормальным ускорением, он характеризует изменение скорости по направлению. При движении тела по окружности радиуса R нормальное ускорение направлено к центру и выражается формулой

. (2.18)

Любую другую траекторию вблизи произвольной точки можно считать сколь угодно близкой к окружности, следовательно, радиус R кривизны траектории в данной точке можно найти из формулы (2.18):

. (2.19)

Вектор полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорения

, (2.20)

а его модуль равен

. (2.21)

Движение тела с постоянным по величине и направлению ускорением называется равноускоренным. В случае равноускоренного движения его уравнение имеет вид

(2.22)

или в проекциях на координатные оси:

; (2.23)

; (2.24)

. (2.25)

В уравнениях (2.22)–(2.25) – радиус-вектор, описывающий начальное положение точки; – вектор начальной скорости; , , – начальные координаты; , , – проекции вектора начальной скорости на оси X, Y, Z.

В частном случае движение является равномерным.

Для описания вращения твердого тела относительно неподвижной оси используются понятия угла поворота (псевдовектор), угловой скорости и углового ускорения . Угловой скоростью называется вектор, величина которого равна производной угла поворота по времени

. (2.26)

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения, его направление связано c направлением вращения и определяется правилом «буравчика» (рис. 2.4).

Производная вектора угловой скорости по времени называется угловым ускорением :

. (2.27)

При ускоренном вращении материальной точки или твердого тела вокруг неподвижной оси направления векторов углового ускорения и угловой скорости совпадают, при замедленном они направлены противоположно.

Как и в случае поступательного движения, из уравнений (2.26), (2.27) можно найти угловую скорость и угол поворота:

; . (2.28)

Равноускоренное вращение описывается уравнениями:

; ; , (2.29)

где – начальный угол поворота; – начальная угловая скорость; – угловое ускорение (не зависящее от времени).

При вращении точки относительно фиксированной оси ее линейные и угловые характеристики связаны между собой соотношениями:

; (2.30)

; (2.31)

, (2.32)

где – расстояние от точки до оси вращения (радиус вращения).