Численные методы

Основным численным методом, используемым в разработке, является конечно-разностный метод решения дифференциальных уравнений в частных производных, для которого имеется большое количество программ для ЭВМ, разработанных в различных институтах (ВНИИ, ОАО «БашНИПИнефть», ОАО «РосНИПИтермнефть» и др.) и отечественных и зарубежных фирмах (ЮКОС, Лукойл, Shell и др.).

В современных расчётах разработки реальных нефтяных месторождений чаще всего применяют конечно-разностные методы. При использовании этих методов дифференциальные уравнения, описывающие процессы разработки нефтяных месторождений, представляют в конечно-разностной форме. Конечно-раз-ностные уравнения решают с помощью быстродействующих электронно-вычисли-тельных машин-компьютеров. Удобные для использования точные решения задач разработки нефтяных месторождений практически обычно получают только для одномерных случаев (прямолинейное и радиальное течения). При необходимости же рассчитать процессы разработки пластов с учётом их сложной геометрической формы, получить точные и даже приближённые решения не удается. В таких случаях решить задачу можно, применяя численные методы.

Хотелось бы отметить, что решение дифференциальных уравнений в частных производных можно назвать целой областью математики, которую необходимо изучать несколько лет, и поэтому полученные в этом разделе сведения носят весьма ограниченный характер. Однако он должен дать возможность ориентироваться при использовании программ для ЭВМ при численном решении задач фильтрации.

Например, пусть задана некоторая конфигурация месторождения (рассматривается двумерный случай) (рисунок 6.4). При на контуре Г известно и режим водонапорный. Известно распределение по всем ячейкам значений проницаемости и . Вытеснение водой нефти поршневое, т.е. жидкости (нефть и вытесняющая ее вода) не смешиваются. Известны моменты времени ввода в эксплуатацию каждой k-той скважины (стока) и ее режим работы (; ). Предполагается, что пласт расположен на одной глубине по всей площади, имеет одинаковую мощность и изотропен в разрезе. Вязкость нефти и законтурной воды известны.

Рисунок 6.4 – Схема разбиения области со сложной конфигурацией на конечно-разностные ячейки: 1 – контур области; 2 – ячейка А

Необходимо рассчитать перераспределение давления в области со сложной конфигурацией при упругом режиме с момента пуска первой скважины до некоторого момента времени и определить продвижение границы водонефтяного контакта (ВНК).

Вот такая очень упрощенная задача, в которой не учитывается пространственная неоднородность, не учитывается смешение нефти и вытесняющей ее воды, не принимается различие пласта по мощности по площади месторождения, не учитывается качество вскрытия пластов в каждой скважине и многое другое. Современные программы для ЭВМ позволяют решать гораздо более сложные задачи.

Основой численных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных являются:

1) дискретизация области и выбор сетки решения (плоской и пространственной);

2) замена уравнений на соответствующие разностные операторы;

3) составление системы алгебраических уравнений согласно математической постановке задачи (вид уравнения и граничные условия);

4) численное решение системы алгебраических уравнений (по шагам времени и по «молекулам»);

5) оценка устойчивости решений.

Дискретизация области подразумевает её разбиение с помощью сеток. Для плоскости сетки представляют собой

прямоугольная		полярная
треугольная

Эти сетки выбираются с целью наилучшего приближения к границам или чтобы повысить точность вычисления в какой-либо интересующей области.

В зависимости от вида сетки записываются и конечно-разностные операторы (часто называют молекулы, так как их изображают в виде строгих формул), которые заменяют соответствующие дифференциальные операторы

; ; ; ; …

Для примера будем рассматривать прямоугольную сетку и выпишем молекулы. Возьмем и рассмотрим одну ячейку (рисунок 6.4).

В этом двумерном случае уравнение упругого режима имеет вид

. (6.32)

Область течения нефти в плоском пласте разбивается на множество ячеек с размерами Dх, Dу и h соответственно по осям х, у и z. Рассмотрим ячейку А, которая при бесконечном дроблении (, ) превращается в точку А. Будем считать, что в этой ячейке давление равно p_ij. При замене в уравнении (6.32) бесконечно малых приращений конечными выражения для производных преобразуются следующим образом

;

;

; (6.33)

;

.

Подставляя (6.33) в дифференциальное уравнение (6.32), получаем

. (6.34)

Здесь – давление в ячейке А в момент времени t; – давление в той же ячейке в момент времени .

Граничные и начальные условия при решении задач численными методами также приводят к соответствующей конечно-разностной форме. Соотношение (6.34) представляет собой алгебраическое уравнение. Таким образом, при использовании конечно-разностных методов вместо дифференциальных решают алгебраические уравнения.

Последнее соотношение представляет собой алгебраическое уравнение. Подобные соотношения можно составить для каждой ячейки, двигаясь по узлам сетки.

Граничные и начальные условия при решении задач численными методами также приводят к соответствующей конечно-разностной форме. Учёт граничных условий состоит в том, что если в узел попадает граница, то значение функции на границе попадает в молекулу, а если пересечение сетки с границей не в узле, то используются специальные аппроксимационные молекулы. Схематично это можно проиллюстрировать на следующем рисунке.

Методы решения соответствуют методам решения больших систем алгебраических уравнений, разработанных в специальных разделах математики.

Устойчивость решения – это воспроизводимость его при разных путях решения, используемых молекул и методов решения алгебраических уравнений, шаге сетки и шаге времени.

Так, для уравнения пьезопроводности

при , если

и тогда погрешность вычислений будет порядка h².

Это, в принципе, все те немногие сведения и примеры, которые достаточно знать для того, чтобы представлять, что такое численные методы и как они могут использоваться при решении задач разработки месторождений.