Математической физики

Многие задачи разработки нефтяных и газовых месторождений сводятся к решению классических уравнений математической физики. В ряде случаев можно получать решения задач математической физики, в точности удовлетворяющие исходным уравнениям, начальным и граничным условиям. Такие решения называются точными. К числу методов, дающих точные решения задач разработки нефтяных месторождений, относится хорошо известный из курса математики метод разделения переменных (метод Фурье), методы функций комплексного переменного, интегральных преобразований, получения автомодельных решений и др.

Методы функций комплексного переменного являются классическими методами решения задач установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в плоских пластах. Рассмотрим эти методы при установившемся притоке жидкости к источникам (скважинам).

1. Уравнение неразрывности массы жидкости, фильтрующейся в плоском пласте, имеет, исходя из (4.12), следующий вид:

. (6.1)

Подставляя в это уравнение формулу закона Дарси

; (6.2)

получаем уравнение Лапласа

. (6.3)

Введем потенциал фильтрации в виде

.

В этом случае вместо уравнения (6.3) получим

. (6.4)

Введем комплексный потенциал

; . (6.5)

Входящая в выражение (6.5) функция – функция линий тока. В теории плоского потенциала доказывается, что комплексный потенциал и функция линий тока удовлетворяют условиям Коши – Римана

; . (6.6)

Таким образом, любая аналитическая функция комплексного переменного описывает некоторое плоское течение в пласте.

Рисунок 6.1 – Схема бесконечной цепочки скважин в плоском пласте: 1 – скважины; 2 – полоса шириной 2а

Допустим, что в неограниченном плоском пласте (рисунок 6.1) по оси х располагается бесконечная цепочка источников (скважин). Каждая из скважин находится на расстоянии 2s от соседней. Для того чтобы найти решение задачи о течении жидкости в пласте, достаточно рассмотреть течение жидкости только в одной полосе шириной 2а, расположенной по обе стороны от оси у.

Получить формулу притока жидкости к одному источнику можно было бы путем суммирования бесконечного числа решений для источников, расположенных на расстояниях () от рассматриваемого источника, находящегося в начале координат. Однако более компактно это можно сделать, применив конформное преобразование полосы, расположенной в плоскости , в неограниченную плоскость комплексного переменного . Такое конформное преобразование дает функция

. (6.7)

При конформном преобразовании, осуществляемом функцией (6.7), любой точке полосы соответствует определенная точка плоскости z.

Можно с достаточным приближением считать, что вместо точечного источника в плоскости z существует скважина радиусом r_с, где потенциал равен Ф_с. Тогда примем, что на расстоянии r_к от центра скважины потенциал равен Ф_к. Для дебита скважины в плоскости z можно написать формулу Дюпюи

. (6.8)

Если перейти к некоторой плоскости z, то при больших значениях у течение в полосе будет параллельным оси у. Для этой оси имеем

.

При значительных расстояниях по оси у имеем . Тогда можно положить

.

При незначительных

.

Подставляя приведённые значения и в формулу (6.8), получаем

. (6.9)

По формуле (6.9) можно определить дебит одной скважины из бесконечной цепочки скважин, расположенных в неограниченном пласте, при условии, что на некотором, достаточно большом расстоянии z от оси х давление равно р_к, а в скважинах малого радиуса r_с оно составляет р_с.

2. Рассмотрим решение одной из основных задач теории теплопроводности, весьма необходимое при расчётах тепловых методов разработки нефтяных месторождений. Пусть имеем полубесконечный стержень площадью течения S, полностью теплоизолированный от окружающей среды. Начальная температура при во всем стержне была равна Т_о, а при на границе стержня (рисунок 6.2) она стала равной Т₁, оставаясь при равной Т_о. Требуется определить распределение температуры по координате х в различные моменты времени t.

Будем исходить из уравнения сохранения энергии, рассматривая теплоперенос в стержне только за счёт теплопроводности. Для скорости теплопереноса u_т за счёт теплопроводности имеем следующее уравнение:

Рисунок 6.2 – Схема распространения температуры за счёт теплопроводности в полубесконечном стержне: 1 – полубесконечный стержень площадью сечения S; 2 – распределение температуры в стержне в момент времени t

, (6.10)

где с – удельная теплоемкость вещества в стержне; r – плотность вещества.

Скорость переноса тепла u_т за счёт теплопроводности можно определить по формуле закона Фурье

, (6.11)

где l_т – коэффициент теплопроводности.

Подставляя (6.11) в (6.10), получаем

; . (6.12)

Уравнение (6.12) есть уравнение теплопроводности при прямолинейном распространении тепла, а входящий в него коэффициент k_т называется коэффициентом температуропроводности. В соответствии с условиями задачи

при , ; , ,

(6.13)

при , .

Рассмотрим функцию , определяемую следующим образом:

. (6.14)

Тогда начальное и граничное условия (6.13) запишутся следующим образом:

при , ; , ,

(6.15)

при , .

Функция , очевидно, также удовлетворяет уравнению теплопроводности (6.12), как и , т.е.

. (6.16)

Для получения решения рассматриваемой задачи применим преобразование Лапласа. В результате получим выражение для скорости переноса тепла на границе . С учётом выражения (6.11) находим

;

(6.17)

.

Поток тепла q_т через течение стержня площадью S при

. (6.18)

3. Рассмотрим приток жидкости (нефти) с постоянным дебитом q к точечному стоку, расположенному в однородном бесконечно простирающемся плоском пласте толщиной h при упругом режиме. Сток находится в центре координат, и течение к нему в пласте радиальное. В начальный момент времени пластовое давление постоянно и составляет р_к. При из точечного стока отбирается из пласта нефть с дебитом , а пластовое давление остается равным р_к только при . Требуется определить распределение давления в пласте в любой момент времени.

Уравнение неразрывности массы фильтрующегося в пласте вещества имеет в рассматриваемом случае следующий вид:

. (6.19)

Учитывая закон Дарси и сжимаемость пласта (сжимаемость пород пласта и насыщающей их жидкости), из (6.19) получаем уравнение упругого режима в следующем виде:

; , (6.20)

где b_с и b_ж – сжимаемость соответственно пород пласта и насыщающей пласт жидкости. Остальные обозначения такие же, что и принятые выше в формуле закона Дарси. Введём функцию следующим образом:

(6.21)

и подставим ее в уравнение (6.11). В результате получим

. (6.22)

Здесь k – пьезопроводность пласта. Поскольку сток точечный (), то для него имеем следующее граничное условие:

.

Следовательно, граничное и начальное условия будут

;

(6.23)

.

Известно, что рассматриваемое решение задачи зависит от одной переменной . В таких случаях считают, что решение автомодельное, т.е. подобное самому себе.