Использование MatLab для построения логарифмических характеристик цифровых систем

Расчет цифровых систем графическим методом состоит из следующих этапов:

- определение передаточных функций систем на Z - плоскости;

- применение преобразований, переводящих передаточные функции цифровых систем из плоскости Z на плоскость W;

- построение логарифмических характеристик цифровых систем в функции псевдочастоты;

- определение частотных характеристик корректирующих устройств в функции псевдочастоты;

- определение Z-передаточных функций корректирующих устройств;

- анализ результатов расчетов.

Все вышеперечисленные этапы можно выполнить, используя команды MatLab. С помощью команды c2d, по заданной передаточной функции непрерывной системы и заданному интервалу дискретности , определяется Z-передаточная функция. Командой zpk дискретная передаточная функция, заданная в виде полиномов по убывающим степеням числителя и знаменателя, записывается через нули и полюса. Представление передаточной функции в форме zpk целесообразно применять тогда, когда требуется в ручном режиме выполнить алгебраические преобразования, связанные с заменой переменных , переводящих частотные характеристики из плоскости Z на плоскость W. Если в распоряжении пользователя имеется пакет Symbolic Math Тoolbox, то алгебраические преобразования, связанные с переводом передаточных функций к форме zpk, можно не проводить.

Проиллюстрируем эти положения на конкретном примере программы Pr_04_09, приведенной ниже.

В первой части программы командой c2d получены дискретные передаточные функции в виде отношения полинома числителя к полиному знаменателя при различных значениях интервала дискретности с запоминающим элементом нулевого порядка. Командой zpk дискретную передаточную функцию, заданную в форме tf или ss, преобразует в передаточную функцию, характеризующую систему коэффициентом усиления, нулями и полюсами.

Вторая часть программы работает с пакетом Symbolic Math Тoolbox. Она требует ввода символьных переменных, над которыми выполняются арифметические вычисления с контролируемой точностью, которую можно заказать заранее. Для этих целей в пакете Symbolic Math Тoolbox используется две функции – digits и vpa. Первая из этих функций устанавливает требуемую точность в количестве верных десятичных знаков после запятой, а вторая функция осуществляет вычисления с заданной точностью.

В первой части программы получена Z-передаточная функция исследуемой системы. Во второй части программы вводится подстановка (где - абсолютная псевдочастота), а затем командой Simplify осуществляется упрощение передаточной функции. Однако форма, в которой представлена преобразованная передаточная функция, не соответствует принятым стандартам: коэффициенты при свободном члене отличны от еденицы. Это иллюстрирует передаточная функция системы, приведенная в программе Pr_04_09 при .

.

Приведем ее к стандартному виду

. (4-55)

Для построения логарифмических характеристик в функции абсолютной псевдочастоты определим полином числителя и знаменателя, используя выражения (4-55). Составляющие полинома числителя зхаданы:

; . (4-56)

С помощью команды определяем свертку двух векторов. Но если вектора и заданы полиномами, то операция эквивалентна умножению двух полиномов. Поэтому применение команды к векторам и определяет полином числителя . Полином знаменателя определяется вектором . Логарифмические характеристики строятся командой

По выражению (4-55) можно построить ЛАЧ и ЛФЧ характеристики на плоскости W как асимптотическим методом, так и командами MatLab. При построении логарифмических характеристик импульсных систем асимптотическим методом следует учитывать наличие в передаточной функции неминимально-фазовых звеньев. В отличие от минимально-фазовых звеньв, полиномы которых имеют одинаковые знаки, в неминимально-фазовых звеньях полиномы имеют разные знаки. Однако знак не влияет ЛАЧ, а влияние знака проявляется при построении ЛФЧ характеристики. Поэтому ЛАЧ характеристику импульсной системы можно построить так же ЛАЧ характеристику непрерывной системы, мысленно заменив минус плюсом.

При построении ЛФЧ характеристик следует неминимально-фазовое звено перенести в знаменатель, сделав его минимально-фазовым, и строить фазовые характеристики по новому выражению (Бесекер,)

При построении ЛАЧ и ЛФЧ характеристик командами MatLab следует учитывать вышеизложенные соображения:

1. Применить команду к исследуемой передаточной функции. При этом из двух характеристик использовать только ЛАЧ. Фазовая характеристика, построенная командой , опережает истинную характеристику на 180˚ и поэтому нуждается в корректировке.

2. Применить команду к измененой передаточной функции: заменить неминимально-фазовые звенья минимально фазовым, а последнии перенести в знаменатель

(4-57)

Конечно логарифмическая амплитудная характеристика предложенной передаточной функции (4-57) не соответствует цифровой системе, но зато фазовые характеристики будут иметь начало отсчета, принятого в теории автоматического управления.