Построение логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик импульсных систем

Метод логарифмических частотных характеристик широко используется при проектировании непрерывных систем. Поэтому целесообразно этот метод перенести и для синтеза импульсных систем.

Как известно, амплитудно-фазовая характеристика импульсной системы связана с амплитудно-фазовой характеристикой непрерывной части импульсной системы , известным соотношением

. (4-41)

Из него видно, что импульсный элемент транспонирует (переносит) спектр непрерывного сигнала по всему частотному диапазону. Если выполняются условия теоремы Котельникова ( - граничная частота спектра непрерывного сигнала, который может быть передан импульсными посылками), то транспонированный и исходный спектры не перекрываются. В инженерной практике используют не граничную частоту непрерывного сигнала, а частоту среза системы регулирования. Для систем подчиненного регулирования . Но это соотношение можно использовать как ориентировочное, так как оно не учитывает запаздывания, вносимого аналого-цифровыми преобразователями. Для удовлетворительного преобразования аналогового сигнала в дискретный сигнал , а для улучшения преобразования неравенство дожно быть усилено

По выражению (4-41) можно построить ЛАХ импульсной системы в функции круговой частоты . Однако при этом будет потеряно важное свойство частотных характеристик непрерывных систем – асимтотическое, т.е. на плоскости P не представляется возможным построить ЛАХ характеристиках импульсных систем методом асимптот. В то же время сохранение асимтотических свойств ЛАХ непрерывных систем при построении ЛАХ импульсных (цифровых) систем крайне желательно, так как придает им ряд положительных свойств:

- облегчает построение ЛАХ импульсных систем;

- позволяет переходить к аналитическому описанию импульсных систем по их графическому представлению;

- позволяет синтезировать импульсную систему асимптотическими ЛАХ с наперед заданными динамическими свойствами.

Поэтому желательно возродить асимптотические свойства ЛАХ и для импульсных (цифровых) систем. В принципе это выполнимо, так как информация обо всей ЛАХ импульсной системы, за счет правильного выбоа , содержится в частотном оиапазоне (). Поэтому необходимо найти такое математическое преобразование, которое бы частотный диапазон () плоскости Р отобразило бы на всю мнимую ось введенной специально для этого преобразования плоскости W. При наличии такого преобразования каждой точке круговой частоты из диапазона () плоскости Р будет соответствовать новая переменная (назовем ее относительной псевдочастотой), расположенная на мнимой оси плоскости W.

Переход от плоскости Р к плоскости W осуществляется в два приема. Сначала преобразованием левая полуплоскость плоскости Р отображается в окружность единичного радиуса плоскости Z, а затем внутренняя часть окружности плоскости Z в левую полуплоскость плоскости W с помощью билинейного преобразования

. (4-42)

Решим уравнения (4-42) относительно ,

,

а затем в последнее уравнение подставим значение , т.е. отобразим мнимую ось плоскости P в единичную окружность плоскости Z. Этими преобразованиями устанавливается связь между точками мнимой оси плоскости P и точками мнимой оси плоскости W.

(4-43)

На плоскости P каждая точка мнимой оси определяет круговую частоту , а на плоскости W каждой точке мнимой оси соответствует относительная псевдочастота . Из выражения (4-43) следует, что является периодической функцией с периодом, равным . Действительно, при , ; при , ; при , . Таким образом, изменение от до соответствует изменению от до . Если увеличивается от до , то возрастает от до . Этот процесс повторяется при , большем . Соответствие между относительной частотой и круговой частотой для диапазона частот от до приведено на рис.4.21.

Как следует из (4-43) переменная безразмерна. Но по своей физической природе должна играть роль частоты и иметь размерность . Поэтому в выражении (4-43) следует перейти от относительной псевдочастоты к абсолютной псевдочастоте путем ввода размерного множителя

. (4-44)

Ввод множителя не только придает физический смысл преобразованию, но и изменяет масштаб частот таким образом, что при малых значениях тангенс угла приблизительно равен значению угла , т.е. абсолютная псевдочастота совпадает с круговой частотой. Это позволяет:

- строить логарифмические характеристики импульсных систем асимптотическим методом в функции абсолютной псевдочастоты;

- определять передаточные функции импульсных систем по их частотным характеристикам.

В области низких и средних частот, при правильно выбранном интервале дискретности, псевдочастота равна круговой частоте, т.е. . Поэтому характеристики и выражения, описывающие непрерывные системы в функции ,совпадают с характеристиками и выражениями, описывающими дискретные системы в функции , а коэффициенты полиномов непрерывных систем, определяющие частотные характеристики на плоскости P, совпадают с коэффициентами полиномов дискретных систем, определяющие частотные характеристики на плоскости W.