Примеры решения задач. 1) производная разности, константа на функцию:

1) производная разности, константа на функцию: .

2) производная суммы (разности) степенных функций, константа на функцию:

.

3) производная произведения: .

4) производная частного:

2. Выяснить, в какой точкекривой касательная параллельна прямой . Найти уравнение касательной в этой точке.

Решение. Угловой коэффициент прямой равен угловому коэффициенту касательной, так как они параллельны: . Тогда , . В точке касательная к кривой параллельна прямой , её уравнение имеет вид или

3. Найти точку на кривой , в которой касательная составляет угол с положительным направлением оси . Написать уравнение этой касательной.

Решение. Угловой коэффициент касательной равен производной рассматриваемой функции, поэтому , , . Тогда в точке рассматриваемой кривой касательная составляет угол с положительным направлением оси . Её уравнение , или .

4. Тело движется по прямой по закону . Определить скорость и ускорение движения тела в момент времени .

Решение. Скорость тела равна производной пути по времени, ускорение – производная скорости: , .

Пример 6.2. Вычислить приращение длины стороны куба, если известно, что его объём увеличился от 64 до 64,3 м³.

Решение. Если – объём куба, то его сторона . По условию задачи , . Тогда приращение стороны куба м.

Вопросы для повторения

1. Приращение функции в точке равно . Чему равна производная ?

2. Чему равна производная функции в точке , если касательная к графику функции в точке :
а) параллельна оси ; б) составляет с осью угол ; составляет с осью Oy угол 330⁰?

3. Как найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x =5?

4. . Какие асимптоты есть у графика функции ?

5. Назовите основные правила дифференцирования.

6. Запишите таблицу производных основных элементарных функций.

7. В каких случаях приращение функции можно заменить её дифференциалом? Где это используется?

8. Как связан знак производной с возрастанием и убыванием функции?

9. Назовите необходимое и достаточное условия экстремума.

10. Чем отличается максимум от наибольшего значения функции, а минимум от её наименьшего значения?

11.Что такое точка перегиба графика функции?

12. В каких случаях при вычислении предела функции можно применить правило Лопиталя?