Вычисление производной. Дифференциал

I. Правила дифференцирования. – дифференцируемые функции

1. Константа: ;

2. ;

3. Сумма (разность): ;

4. Произведение:

5. Константа умножить на функцию: ;

6. Частное: ;

7. Константа разделить на функцию: .

II. Таблица производных
Степенные функции 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; Показательные функции 5. ; 6. ; Логарифмические функции 7. ; 8. ;	Тригонометрические функции 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; Гиперболические функции 13. ; 14. ; 15. ; 16. ;	Обратные тригонометрические функции 17. ; 18. ; 19. ; 20. ;
Производные высших порядков
Вторая производная – это производная от первой производной: . n -ая производная – это производная от (n -1)-ой производной: .
Производные параметрически заданной функции ,
Дифференциал
	1. Геометрический смысл дифференциала:Дифференциал равен приращению касательной к графику функции. – дифференцируемые функции 2. ; 3. , если x – независимая переменная; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. .
9. Формула приближённых вычислений: (6.4)
Погрешности вычисления Найти , если . Тогда , – абсолютная погрешность x. Тогда . – абсолютная погрешность функции – относительная погрешность y.
6.3 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя
	Теорема Ролля. Функция 1. непрерывна на[ a; b ]; 2. дифференцируема в интервале (a; b); 3. . Тогда существует по крайней мере одна точка (), такая, что . Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке параллельна оси Ox.
	Теорема Лагранжа. Функция 1. непрерывна на[ a; b ]; 2. дифференцируема в интервале (a; b). Тогда существует по крайней мере одна точка (), такая, что . Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке параллельна секущей АВ.
Теорема Коши. Функции и 1. непрерывны на[ a; b ]; 2. дифференцируемы в интервале (a; b); 3. при . Тогда существует по крайней мере одна точка (), такая, что .
Раскрытие неопределённостей в пределах
Правило Лопиталя. Функции и 1. удовлетворяют условиям теоремы Коши в некоторой окрестности точки ; 2. и существует . Тогда .
Раскрытие других видов неопределенностей
Формула Тейлора. Функция определена в точке и её окрестности и имеет в ней производные до порядка (n +1) включительно. Тогда , (6.5) где – остаточный член в форме Лагранжа. Формула Маклорена: . (6.6)