Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Приложение производных к исследованию функций



Определение. Функция имеет локальный максимум (минимум) в точке , если она определена в точке и некоторой ее окрестности , и значение функции в точке больше (меньше), чем ее значение во всех соседних точках:

.

Минимум и максимум функции называются точками экстремума.

Определение. Функция называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на множестве , если её график находится ниже (выше) любой касательной. Функция выпукла вверх Функция выпукла вниз
Исследование по первой производной Функция убывает. Функция возрастает . . При переходе через точку минимума меняет знак с «–» на «+» . При переходе через точку максимума меняет знак с «+» на «–» .  
Исследование по второй производной . функция выпукла вверх, – выпукла вниз  
– точка перегиба Если вторая производная существует, то в точке максимума , в точке минимума . В точке перегиба .  
План исследования функции и построение её графика  
1. Область определения. 2. Чётность: нечётность: иначе – функция общего вида. 3. Асимптоты: 1) вертикальные асимптоты вида в точках разрыва 2-го рода; 2) наклонная асимптота ; 3) горизонтальная асимптота . 4. Точки пересечения с осями: с . 5. Интервалы монотонности и точки экстремума (по знаку первой производной ). 6. Интервалы выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба (по знаку второй производной ). 7. Построение графика.  
Наибольшее M и наименьшее m значения непрерывной функции, заданной на отрезке [ a; b ]  
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции, заданной на отрезке , находятся либо в концах отрезка, либо внутри отрезка в точках экстремума.  
         

Пример 1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Решение. Уравнения касательной и нормали – формулы (6.2) и (6.3).

. .

Уравнение касательной: или .

Уравнение нормали: или .

Пример 2. Найти вторую производную функции и вычислить её в точке .

,

.

Пример 3. Исследовать функцию и построить её график.

Решение. Проведём полное исследование функции.

1. Область определения .

2. . В этом случае говорят, что функция общего вида.

3. Асимптоты. Исследуем точку разрыва на наличие в ней вертикальной асимптоты. Для этого найдём пределы функции слева и справа. Если хотя бы один предел будет равен бесконечности, то в точке будет проходить вертикальная асимптота.

Предел слева: , Предел справа: . Прямая – вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота :

, .

Таким образом, прямая является наклонной асимптотой графика исследуемой функции.

4. Точки пересечения с осями.

С осью , т.е. точки .

С осью , т.е. точка .

5. Интервалы монотонности. Найдём производную и точки, в которых она равна нули или не существует.

,

, .

6. Интервалы выпуклости вверх (вниз).

.

таких точек нет; .

Найденные точки разбивают всю числовую ось на четыре интервала. Определим знаки первой и второй производной и поведение функции в каждом интервале.

x      
y’   + Не существует +  
y’’ + + + Не существует
y –2 min Не существует –6 max

В точке функция достигает минимума, в точке – максимума:

, .

7.Для построения графика отмечаем точки пересечения с осями координат, точки экстремума и пунктирными линиями наносим асимптоты. Начинаем построение от вертикальной асимптоты. При слева предел функции равен , а при график функции приближается к наклонной асимптоте . Справа от вертикальной асимптоты , а при график функции приближается к наклонной асимптоте.  

Пример 4. Дана функция . Найти: 1) экстремум функции;

2) наибольшее M и наименьшее m значения функции на отрезке [-1, 4].

Решение.1) . Находим точки, в которых производная равна нулю:

На числовой оси отмечаем точки и . Находим знаки производной в полученных интервалах и указываем соответствующее поведение функции:

В точке функция достигает максимума, в точке – минимума:

. .

2) Вначале нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Это и . Но точка , поэтому дальше её не рассматриваем. Затем необходимо вычислить значение функции в концах отрезка и в точке , т.к. она принадлежит отрезку . После этого из полученных значений нужно выбрать самое большое M и самое маленькое m значения.

Таким образом, , .





Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 205 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...