![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Функция имеет локальный максимум (минимум) в точке , если она определена в точке
и некоторой ее окрестности
, и значение функции в точке
больше (меньше), чем ее значение во всех соседних точках:
.
Минимум и максимум функции называются точками экстремума.
Определение. Функция ![]() ![]() | Функция выпукла вверх Функция выпукла вниз
![]() | |||
![]() | Исследование по первой производной ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
Исследование по второй производной ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() | Если вторая производная существует, то в точке максимума ![]() ![]() ![]() | |||
План исследования функции ![]() | ||||
1. Область определения.
2. Чётность: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
Наибольшее M и наименьшее m значения непрерывной функции, заданной на отрезке [ a; b ] | ||||
![]() ![]() | ||||
Пример 1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой
.
Решение. Уравнения касательной и нормали – формулы (6.2) и (6.3).
.
.
Уравнение касательной: или
.
Уравнение нормали: или
.
Пример 2. Найти вторую производную функции
и вычислить её в точке
.
,
.
Пример 3. Исследовать функцию и построить её график.
Решение. Проведём полное исследование функции.
1. Область определения .
2. . В этом случае говорят, что функция
общего вида.
3. Асимптоты. Исследуем точку разрыва на наличие в ней вертикальной асимптоты. Для этого найдём пределы функции слева и справа. Если хотя бы один предел будет равен бесконечности, то в точке
будет проходить вертикальная асимптота.
Предел слева: ![]() ![]() | Прямая ![]() |
Наклонная асимптота :
,
.
Таким образом, прямая является наклонной асимптотой графика исследуемой функции.
4. Точки пересечения с осями.
С осью , т.е. точки
.
С осью
, т.е. точка
.
5. Интервалы монотонности. Найдём производную и точки, в которых она равна нули или не существует.
,
,
.
6. Интервалы выпуклости вверх (вниз).
.
таких точек нет;
.
Найденные точки разбивают всю числовую ось на четыре интервала. Определим знаки первой и второй производной и поведение функции в каждом интервале.
x | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
y’ | – | + | Не существует | + | – | ||
y’’ | + | + | + | Не существует | – | – | – |
y | ![]() | –2 min | ![]() | Не существует | ![]() | –6 max | ![]() |
В точке функция достигает минимума, в точке
– максимума:
,
.
7.Для построения графика отмечаем точки пересечения с осями координат, точки экстремума и пунктирными линиями наносим асимптоты. Начинаем построение от вертикальной асимптоты. При ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Пример 4. Дана функция . Найти: 1) экстремум функции;
2) наибольшее M и наименьшее m значения функции на отрезке [-1, 4].
Решение.1) . Находим точки, в которых производная равна нулю:
На числовой оси отмечаем точки и
. Находим знаки производной в полученных интервалах и указываем соответствующее поведение функции:
В точке функция достигает максимума, в точке
– минимума:
.
.
2) Вначале нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Это и
. Но точка
, поэтому дальше её не рассматриваем. Затем необходимо вычислить значение функции в концах отрезка и в точке
, т.к. она принадлежит отрезку
. После этого из полученных значений нужно выбрать самое большое M и самое маленькое m значения.
Таким образом, ,
.
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 205 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!