Касательное и нормальное ускорение точки

При естественном способе задания движения вектор определяют по его проекциям на оси M nb, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рис.5). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника (или скоростными осями), направлены следующим образом: ось - вдоль каса­тельной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось М_n - по нормали, лежащей в соприкасающейся плос­кости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Mb - перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую тройку. Нормаль М_n, лежащая в соприкасающейся плоскости(вплоскости самой кривой, если кривая плоская), называетсяглавной нормалью, а перпендикулярная к ней нормаль Mb - бинормалью.

Рис.5

Было показано, что ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, т. е. в плоскости ; следовательно, проекция вектора на бинормаль равна нулю ().

Вычислим проекции , на две другие оси. Пусть в моментвремени t точка находится в положении М и имеет скоростьv, a в момент приходит в положение М₁ и имеет скорость v₁.

Тогда по определению

.

Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси , проведенные в точке М (рис.5). Тогда на основании теоремы о проекции суммы (или разности) векторов на ось получим:

.

Учитывая, что проекция вектора на параллельные оси одинаковы, проведем через точку М₁ оси параллельные и обозначим угол между направлением вектора и касательной через . Этот угол между касательными к кривой в точках М и М₁ называется углом смежности.

Напомним, что предел отношения угла смежности к длине дуги определяет кривизну k кривой в точке М. Кривизна же является величиной, обратной радиусу кривизны в точке М. Таким образом,

.

Обращаясь теперь к чертежу (рис.6), находим, что проекции векторов и на оси будут равны:

,

где v и v₁ - численные величины скорости точки в моменты t и t₁.

Следовательно,

.

Заметим что при точка М₁ неограниченно приближается к М и одновременно .

Тогда, учитывая, что в пределе , получим для выражение

.

Правую часть выражения а_n преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на . Тогда будем иметь

,

так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при равны:

Окончательно получаем:

.

Итак, мы доказали, что проекция ускорения точки на каса­тельную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s no времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинор­маль равна нулю (а_b=0). Эти результаты выражают собою одну из важных теорем кинема­тики точки.

Рис.6

Отложим вдоль касатель­ной и главной нормали М_n векторы и , чис­ленно равные и a_n (рис. 6). Эти векторы изображают касательную и нормальную составляющие ускорения точки. При этом составляющая бу­дет всегда направлена в сторону вогнутости кривой (величина a„ всегда положительна), а составляющая может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси в зависимости от знака проек­ции (см. рис. 6, а и б).

Вектор ускорения точки изображается диагональю параллело­грамма, построенного на составляющих и . Так как эти состав­ляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю:

.