![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
При естественном способе задания движения вектор определяют по его проекциям на оси M
nb, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рис.5). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника (или скоростными осями), направлены следующим образом: ось
- вдоль касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось Мn - по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Mb - перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую тройку. Нормаль Мn, лежащая в соприкасающейся плоскости(вплоскости самой кривой, если кривая плоская), называетсяглавной нормалью, а перпендикулярная к ней нормаль Mb - бинормалью.
Рис.5
Было показано, что ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, т. е. в плоскости
; следовательно, проекция вектора
на бинормаль равна нулю (
).
Вычислим проекции , на две другие оси. Пусть в моментвремени t точка находится в положении М и имеет скоростьv, a в момент
приходит в положение М1 и имеет скорость v1.
Тогда по определению
.
Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси , проведенные в точке М (рис.5). Тогда на основании теоремы о проекции суммы (или разности) векторов на ось получим:
.
Учитывая, что проекция вектора на параллельные оси одинаковы, проведем через точку М1 оси параллельные
и обозначим угол между направлением вектора
и касательной
через
. Этот угол между касательными к кривой в точках М и М1 называется углом смежности.
Напомним, что предел отношения угла смежности к длине дуги
определяет кривизну k кривой в точке М. Кривизна же является величиной, обратной радиусу кривизны
в точке М. Таким образом,
.
Обращаясь теперь к чертежу (рис.6), находим, что проекции векторов и
на оси
будут равны:
,
где v и v1 - численные величины скорости точки в моменты t и t1.
Следовательно,
.
Заметим что при точка М1 неограниченно приближается к М и одновременно
.
Тогда, учитывая, что в пределе , получим для
выражение
.
Правую часть выражения аn преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на . Тогда будем иметь
,
так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при равны:
Окончательно получаем:
.
Итак, мы доказали, что проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s no времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинормаль равна нулю (аb=0). Эти результаты выражают собою одну из важных теорем кинематики точки.
Рис.6
Отложим вдоль касательной и главной нормали Мn векторы
и
, численно равные
и an (рис. 6). Эти векторы изображают касательную и нормальную составляющие ускорения точки. При этом составляющая
будет всегда направлена в сторону вогнутости кривой (величина a„ всегда положительна), а составляющая
может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси
в зависимости от знака проекции
(см. рис. 6, а и б).
Вектор ускорения точки изображается диагональю параллелограмма, построенного на составляющих
и
. Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю:
.
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 684 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!