Означення. Електричний фільтр – це чотириполюсник, який має вибіркову властивість, тобто пропускає електричні сигнали лише в заданому інтервалі частот

Електричний фільтр – це чотириполюсник, який має вибіркову властивість, тобто пропускає електричні сигнали лише в заданому інтервалі частот. Обов’язковими компонентами електричних фільтрів є елементи, імпеданс яких залежить від частоти, тобто конденсатори, котушки індуктивності та ін. В залежності від застосованих елементів розрізняють RC -, RL - та RCL- фільтри. Також широко застосовуються п’єзоелектричні фільтри, основним елементом яких є п’єзоелектричний кристал. Нижче розглянуто найпростіші схеми RC-фільтрів.

RC-фільтр нижніх частот (ФНЧ)

Фільтр нижніх частот – це чотириполюсник, який практично без послаблення передає

електричні сигнали в області частот від нульової (сталий сигнал) до деякої частоти

ω0. Схема

найпростішого ФНЧ зображена на рис. 14.9.1. а. Для спрощення тут та в наступних різновидах фільтрів припускається, що опір навантаження значно перевищує вихідний опір фільтра. Тобто вихідний струм

I 2 ≈ 0. (14.9.1)

З урахуванням цієї умови коефіцієнт передачі напруги дорівнює

U

K = U 2 =

1 j ω C = 1

= 1− j ω ω0

. (14.9.2)

де позначено

U 1 R +1

j ω C

1

1+ j ω ω0

1+ (ωω0)

Модуль коефіцієнта передачі

ω0 =. (14.9.3)

RC

KU =

1 + (ω ω0)

, (АЧХ) (14.9.4)

а зсув фаз вихідної напруги відносно вхідної

ϕ = −arctg ω ω0

. (ФЧХ) (14.9.5)

Рис. 14.9.1. RC-фільтр нижніх частот: а) схема; б) АЧХ; в) ФЧХ.

З (14.9.4) видно, що максимальне значення коефіцієнта передачі ФНЧ (KU

= 1) досягається для

сталого сигналу. На частоті

ω = ω0

коефіцієнт передачі зменшується до

KU =1

2 ≈ 0, 707.

Вважається, що ФНЧ пропускає сигнали в інтервалі частот

частотою зрізу. АЧХ та ФЧХ цього фільтра подано на рис. 14.9.1.

0Kω0. Частота ω0

називається

Фільтр верхніх частот (ФВЧ)

Фільтр верхніх частот є доповнюючим (комплементарним) до ФНЧ, тобто пропускає сигнали,

починаючи з деякої частоти, яка теж називається частотою зрізу. На рис. 14.9.2. а наведено схему

ФВЧ. З урахуванням попередньої умови i 2 = 0

маємо

KU =

R

R +1

j ω C

= 1,

1− j ω0 ω

де ω0

також описується формулою (14.9.3).

АЧХ цього фільтра визначається за формулою

Фазова характеристика

KU =

1+ (ω0

ω)2

. (14.9.6)

ϕ = arctg(ω0

ω). (14.9.7)

Рис. 14.9.2. RC-фільтр верхніх частот: а) схема; б) АЧХ; в) ФЧХ.

Графіки цих залежностей розміщено на рис.14.9.2. б, в.

Смуговий RC- фільтр (СФ)

Смуговий фільтр пропускає сигнали у певному інтервалі частот і не пропускає обабіч цього інтервалу. Найпростіший фільтр такого типу отримаємо, приєднавши до виходу фільтра нижніх частот фільтр верхніх частот, як це зображено на рис. 14.9.3. а. Такий спосіб об’єднання

чотириполюсників називається каскадним або ланцюговим.

Рис. 14.9.3. Смуговий RC-фільтр: а) схема; б) АЧХ; в) ФЧХ.

Для знаходження коефіцієнта передачі цього фільтра запишемо систему рівнянь Кірхгофа

⎛ x (R

+ x) ⎞

U = I ⎜ R

+ 1 2 2 ⎟;

1 1 ⎝ 1 R +

x 1 +

x 2 ⎠

'

''

I x 1 + I

(R 2+ x 2)= 0; (14.9.8)

''

U 2 = I

R 2;

де введено позначення

I = I ' + I '',

x 1 = 1

j ω C 1 та

x 2 = 1

j ω C 2. (14.9.9)

Розглянемо спрощений варіант фільтра, коли

R 1 = R 2 = R та C 1 = C 2 = C. (14.9.10)

Тоді із системи рівнянь (14.9.8) отримуємо

KU =

1

3+ j ω ω0 + ω0

, (14.9.11)

j ω

де, як і раніше, величина ω0

визначається формулою (14.9.3). Порівнюючи отриманий вираз із

виразом для сили струму в коливному контурі

I = U R

1 + jQ (ωω0

− ω0

ω), (14.7.9)

бачимо, що між ними існує відповідність, якщо (14.9.11) записати у вигляді

KU =

1 3

1+ j (ωω0 − ω0

ω)/3

. (14.9.12)

Внаслідок математичної тотожності формул (14.7.9) та (14.9.12) електричний процес у смуговому

фільтрі називають квазірезонансом. Максимальне значення коефіцієнта передачі

K m = 1 3

досягається для частоти квазірезонансу

ω0 =1 RC. Добротність такого фільтра низька Q = 1 3, тому

ширина смуги пропускання досить значна Δω = 3ω0.

В загальному випадку, коли умови (14.9.10) не виконуються, вираз для коефіцієнта передачі

також можна звести до вигляду (14.9.12), де тепер

ω0 =

1; Q =

R 1 C 1

R 2 C 2

; KU =

. (14.9.13)

R 1 R 2 C 1 C 2

R 1 R 2 + R 2 C 2

R 1 C 1 +1

R 1 R 2 + R 2 C 2

R 1 C 1 +1

Характеристики СФ наведено на рис. 14.9.3. б, в

Режекторний фільтр (РФ)

Загороджувальний або режекторний фільтр (РФ), на відміну від смугового, не пропускає сигнали у певній смузі частот. Режекторний фільтр, схема якого зображена на рис. 14.9.4. а, називається подвійним Т-подібним мостом. Він складається із з'єднаних паралельно Т-подібних RC- фільтрів верхніх та нижніх частот. При паралельному з'єднанні вхідна та вихідна напруга обох

фільтрів однакова U

= U ' = U '', та U

= U '

= U '', тоді як струми додаються, тобто I

= I ' + I ' ';

1 1 1

2 2 2

1 1 1

' ' '

I 2 = I 2 + I 2. Для аналізу чотириполюсників, з'єднаних паралельно, необхідно використовувати Y-

зображення

I 1 = Y 11 U 1 + Y 12 U 2,

I 2 = Y 21 U 1 + Y 22 U 2,

(14.8.6)

оскільки в цьому випадку компоненти матриці еквівалентного чотириполюсника дорівнюють сумі відповідних компонент матриць чотириполюсників, тобто

= Y

ij

ij

Yij

' + Y ''. (14.9.14)

Як і в попередніх випадках, параметри цього фільтра розраховуються в режимі холостого ходу на

виході (I 2 = 0). Тоді із другого рівняння (14.8.6) отримуємо для коефіцієнта передачі за напругою

Y Y '

+ Y ''

U

K = − 21 = − 21 21. (14.9.15)

Y

Y 22

' ''

Y

+

22 22

Отже, задача полягає у знаходженні коефіцієнтів

Y 21

та Y 22

для еквівалентного чотириполюсника.

Знайдемо ці коефіцієнти спочатку для одного з фільтрів, наприклад, для ФНЧ.

Запишемо систему рівнянь Кірхгофа

' ' ' ' '

U 1 = 2 R I 1 + U 2;

xI 3 = 2 R I 2 + U 2;

I 1 = I 2 + I 3,

де x =1

j ω C. Значення

I

' з першого рівняння підставляємо у третє, а з нього вираз для

' у друге

рівняння. Отримаємо

I

I ' =

xU 1 − (2R + x) U 2

4 R (R + x)

. (14.9.16)

Аналогічну формулу для ФНЧ отримаємо, замінивши відповідно до схеми на рис. 14.9.4. а у формулі

(14.9.16) 2 R

на 2 x, а х на R, що дає

I '' =

R U 1 − (2 x + R) U 2

4x(R + x)

. (14.9.17)

Підставивши значення матричних коефіцієнтів із (14.9.16) та (14.9.17) у (14.9.15), отримуємо після очевидних спрощень

KU = 1+ 4 (x

R + R

x). (14.9.18)

Якщо підставити вираз для х та зробити заміну ω0 =1 RC, то отримаємо

KU =

1+ 4 j

(ω0

ω− ω ω0)

. (14.9.19)

Отже, АЧХ цього фільтра описується формулою

а ФЧХ

KU =

1+ [4(ω0

ω − ω ω0

)]2

, (14.9.20)

tg ϕ =

ω ω0 − ω0

. (14.9.21)

ω

Рис. 14.9.4. Режекторний RC-фільтр: а) схема; б) АЧХ; в) ФЧХ.

Графіки цих залежностей можна бачити на рис. 14.9.4. б, в.