Резонансна крива

2 = I 2, де І – ефективне значення сили струму. Дійсна частина

комплексного опору згідно з (14.7.3) дорівнює

Re Z = R, а уявна частина

Im Z = ω L −1 ω C. Зсув

фаз між напругою та струмом для послідовного контуру визначається як

tg ϕ = ω L −1 ω C.

R

Визначений таким способом параметр, який раніше (див. 14.3) трактувався як добротність, залежить од частоти, тому виникає необхідність вибору конкретного значення цієї частоти. Очевидним є визначення добротності контуру на частоті резонансу. Однак, як видно з формули (14.7.4), в умовах резонансу реактивна потужність дорівнює нулеві, тобто сумарна енергія магнітного поля соленоїда та електричного поля конденсатора не змінюються в часі. Якщо на деякому проміжку часу енергія магнітного поля соленоїда зменшується внаслідок зменшення струму, то за цей же проміжок енергія електричного поля в конденсаторі збільшиться на таку ж величину внаслідок відповідного збільшення напруги на ньому. В умовах резонансу джерело живлення покриває витрату енергії лише на ділянці з опором R. У зв’язку з цим добротність коливного контуру визначають як відношення реактивної потужності, що виділяється лише на конденсаторі або лише на індуктивності, до активної

потужності на резонансній частоті, тобто

Q = ω0 L

R

= 1

ω0 CR

. (14.7.5)

Замінивши ω0 згідно з (14.7.2), маємо

де величина

Q = L C = ρ, (14.7.6)

R R

ρ = L C

(14.7.7)

називається характеристичним опором.

Якщо параметри L, C замінити на дві інші Q та

ω0, використавши для цього формули (14.7.2)

та (14.7.6), то отримаємо для імпедансу послідовного коливного контуру такий вираз:

⎡ ⎛ ω

ω ⎞⎤

Z = R ⎢1+ j Q ⎜

− 0 ⎟⎥, (14.7.8)

а для сили струму

⎝ ω 0 ω ⎠

ε R

I

=

1 + j Q (ωω 0

тобто ефективне значення сили струму

− ω 0

ω), (14.7.9)

I = Im, (14.7.9’)

1+ Q 2 (ωω

− ω0

ω)2

де Im = ε R

– сила струму в умовах резонансу. Формули (14.7.8) та 14.7.9) зручні для теоретичного

аналізу.

Ширина резонансної кривої

З вигляду резонансної кривої бачимо, що коливний контур неоднаково пропускає сигнали на

різних частотах. Максимальну величину струм має на частоті ω0

і швидко спадає по обидва боки від

цього значення. Отже, послідовний коливний контур має вибіркову властивість. Цю властивість описує смуга пропускання коливного контуру, або ширина резонансної кривої. Вона визначається як різниця частот, яким відповідає струм у 2 менший від його максимального значення. Тобто

I (ω0)

Δω = ω 2 − ω 1, де I (ω1)= I (ω2)=

. (14.7.10)

2

Використавши цю умову, отримуємо з (14.7.9) після елементарних перетворень два рівняння

Q ω2

ω2 ± ω ω

− Q =

. Додатними коренями цих рівнянь є

ω = ω

(1+ 4 Q 2 −1)2 Q та

0 0 0 1 0

ω2 = ω0 (

1+ 4 Q 2 +1)2 Q, тобто

Δω = ω 2

− ω1

ω

= 0. (14.7.11)

Q

Таким чином, із збільшенням добротності контуру його ширина зменшується, а амплітуда струму зростає у відповідній пропорції, рис. 14.7.1.

Напруга на конденсаторі та котушці індуктивності

Напруга на котушці індуктивності U L = I ω L. Її можна подати в такому вигляді:

ε Q

U L =

1 + Q 2 (ωω

− ω0

ω)2

ω. (14.7.12)

ω0

Ця залежність має максимум на частоті

L

ω m =

ω0, 14.7.13)

1−1 2 Q 2

тобто максимальне значення напруги на котушці

L

L

L

Um = U

(ω m)=

Q ε

. (14.7.14)

1 − 1 4 Q 2

Рис. 14.7.2. Напруга на реактивних елементах послідовного коливного контуру для Q = 3.

Напруга на конденсаторі визначається за формулою

U = I = Q ε ω0

C, (14.7.15)

C 0

ω C 1 + Q 2 (ω ω

− ω0

ω)2 ω

а її максимальне значення досягається для частоти

тобто маємо

ω m = ω

1−1 2 Q 2

, (14.7.16)

U m = U (ω m)=

Q ε

. (14.7.17)

C C

1 − 1 4 Q 2

З (14.7.14) та (14.7.15) видно, що напруги на конденсаторі та індуктивності мають однакові

максимальні значення. Графіки цих напруг наведено на рис. 14.7.2 для добротності

Q = 3. Зі

збільшенням добротності максимуми кривих зближаються. На резонансній частоті напруги на цих

елементах однакові

U C = U L = Q ε. (14.7.18)

0 0

З (14.7.18) видно, що в умовах резонансу в послідовному коливному контурі з високою добротністю напруги на його реактивних елементах досягають значної величини, маючи одночасно протилежні фази. У зв’язку з цим резонанс у послідовному контурі часто називають резонансом напруг.

14.8. Елементи теорії пасивних лінійних чотириполюсників