Глава 11. 11.1. Явище намагнічування. Магнетики

МАГНІТНЕ ПОЛЕ В РЕЧОВИНІ

11.1. Явище намагнічування. Магнетики

Досі ми вивчали магнітну взаємодію провідників із струмом, розміщених у вакуумі (глава 4). В цій главі ми займемось аналізом змін, які вносить у магнітну взаємодію провідників із струмом речовина, яка заповнює простір між ними. Електрони та іони речовини перебувають у неперервному русі, тому зовнішнє магнітне поле діє на них, змінюючи певним чином характер цього руху. Додаткове магнітне поле, створене сукупністю рухомих зарядів речовини внаслідок упорядкування їхнього руху в зовнішньому магнітному полі, дає певний внесок у загальне макроскопічне поле. При наявності такого магнітного впорядкування елементарних магнітних моментів речовини говорять, що речовина намагнічена. Речовина, яка розглядається з точки зору її

магнітних властивостей, називається магнетиком.

Нехай

B' – усереднене магнітне поле речовини, яка знаходиться в зовнішньому полі

B 0.

Повне макроскопічне поле у магнетику визначається суперпозицією цих полів

B = B 0 + B'. Просту

картину намагнічування отримаємо, розглядаючи магнетик як сукупність молекулярних струмів. Такий підхід узгоджується із планетарною моделлю, за якою в атомі існують конвекційні струми, спричинені орбітальним рухом електронів. Магнітні моменти молекулярних струмів, подібно до макроскопічного витка зі струмом, намагаються встановитися паралельно до зовнішнього поля, збільшуючи в такий спосіб величину загального поля. Однак, така картина, як далі з’ясується, надто спрощена. Вона не вичерпує всіх механізмів, які спричиняють намагнічування речовини. Поведінка магнетиків у магнітному полі більш багатозначна, порівняно з поведінкою діелектриків у електричному полі. Якщо в діелектриках спостерігається лише послаблення електричного поля, то в магнетиках зустрічаються обидва варіанти. Існують речовини діамагнетики, які, подібно до

діелектриків у електричному полі, послаблюють магнітне поле (B < B 0). Правда, ефект виявляється

дуже мізерним: B'

B ~ 10−6. У парамагнетиках загальне поле, навпаки, посилюється

(B > B 0), але

теж у незначній мірі: B'

B ~ 10−5 K10−3. Ці два класи речовин відносяться до слабомагнітних. До

сильномагнітних речовин належать феромагнетики, в яких загальне поле на багато порядків

перевищує зовнішнє поле (B >> B 0).

11.2. Магнітні властивості атома

Перш ніж перейти до викладу макроскопічної моделі намагнічування, розглянемо магнітні властивості структурного елемента магнетика – атома.

Магнітомеханічне відношення

Розглянемо магнітні властивості атома на основі напівкласичної планетарної моделі. Нехай

електрон рухається навколо ядра вздовж колової орбіти з радіусом r та кутовою швидкістю ω.

Механічний орбітальний момент імпульсу електрона дорівнює

Lорб = m ω r 2.

(11.2.1.)

Визначимо магнітний момент електрона, зумовлений його орбітальним рухом. Сила конвекційного

струму I = − e T, де T = 2π ω – період обертання. Орбітальний магнітний момент дорівнює

p = IS = − e ω r

; (СГС) (11.2.2)

m c 2 c

ω 2

p = IS = − e r.

(СІ) (11.2.2’)

m 2

Відношення магнітного орбітального моменту до механічного

Γ = −

Γ = −

e,

2 mc

e

2 m

(СГС) (11.2.3)

(СІ) (11.2.3’)

виражається через фундаментальні константи і називається магнітомеханічним відношенням для орбітального руху електрона. Інша назва – гіромагнітне відношення описує величину, обернену до Г. Знак " – " вказує, що магнітний момент має напрямок, протилежний до напрямку механічного моменту.

Квантово-механічне трактування атомного магнетизму

Особливості електронної структури атома з позицій квантової теорії розглядались у п. 6.2. У квантовій теорії відсутнє поняття орбітального руху електрона, можна лише говорити про ймовірність знаходження електрона в даній точці. Незважаючи на невизначеність (із точки зору класичної теорії) електронного стану атома, поняття орбітального моменту імпульсу в квантовій теорії існує, хоча ця величина не виражається через координати та швидкість частинки. Вираз для

механічного орбітального моменту імпульсу

L = h

l (l +1)

(6.2.4)

не збігається з виразом (11.2.1), отриманим на основі класичних уявлень про природу атома. Незважаючи на суттєві відмінності в поняттях, квантово-механічний розрахунок дає такий самий вираз для магнітомеханічного відношення, що і в класичній теорії. З урахуванням цього, а також формули (6.2.4) отримуємо для магнітного орбітального моменту електрона

p L =

e h

2 mc

l (l +1)= μ B

l (l +1). (11.2.4)

Як і раніше, l позначає орбітальне квантове число, яке може займати лише цілі додатні значення

або нуль l = 0, 1, 2, L, n − 1. Коефіцієнт пропорційності

μ B =

e h

2 mc

= 9, 27 ⋅10−21 ерг ⋅Гс−1, (СГС) (11.2.5)

μ = e h

B 2 m

= 9, 27 ⋅10 −24 Дж ⋅ Тл -1

(СІ) (11.2.5’)

виражається через фундаментальні фізичні константи і є важливим магнітним параметром атома.

Він називається магнетоном Бора.

Оскільки проекція механічного орбітального моменту є орбітального моменту описується формулою

Lz = h ml, то проекція магнітного

p

L

z = μ B ml, (11.2.6).

де ml

– магнітне орбітальне квантове число може займати такі значення:

ml = − l, − l + 1, ⋅ ⋅ ⋅, −1, 0, 1, ⋅ ⋅ ⋅ ,l −1 ,l. (6.2.7)

Спіновий магнітний момент

Експериментальні дослідження засвідчили, що магнітні властивості атомів неможливо однозначно описати на основі уявлення про виключно орбітальну його природу. Досліди стверджували, що електрон має ще деякий внутрішній не зв’язаний з орбітальним рухом магнітний ступінь вільності. Первісно причину існування власного магнетизму електрона було сформульовано на основі планетарної моделі атома. Якщо електрон уявляти у вигляді зарядженої сфери, то її обертання навколо власної осі породжує, крім власного механічного моменту імпульсу – спіну, також і власний магнітний момент. Таке пояснення природи власного магнетизму електрона спочатку сприяло розвитку уявлень про будову атома, проте досить швидко виявилося неспроможним описати нові експериментальні факти. Коли була експериментально визначена величина спінового магнітного моменту, то з’ясувалось, що для узгодження її із планетарною моделлю лінійна швидкість обертання екваторіальної області електрона-сфери навколо власної осі повинна перевищувати швидкість світла у вакуумі, що не має сенсу.

Сучасні уявлення про механічний та спіновий магнітний моменти електрона та інших мікрочастинок не пов’язують із якою-небудь наочною механічною моделлю. Вважається, що спін електрона, як і електричний заряд та маса його є фундаментальною властивістю. Це означає, що ці поняття не знаходять пояснення у рамках сучасної фізичної теорії, навпаки, вони самі є поняттями, на яких ця теорія ґрунтується. Логіка тут цілком зрозуміла: те, що не знаходить пояснення в межах існуючої теорії, відносять до фундаментальних понять.

Власний магнітний момент електрона зв’язаний з його механічним спіном формулою,

подібною (але не тотожною) тій, що зв’язує магнітний та механічний орбітальний моменти. Однак,

магнітомеханічне відношення для спіну виявилося удвічі більшим, тобто

ps = 2μ B

s (s + 1).

(11.2.8)

Оскільки спінове квантове число електрона s = 1 2, то

p s = 3μ B.

Проекція магнітного спіну, наприклад, на вісь Z визначається як

z

p s = 2μ B m s, (11.2.9)

де, як і раніше, ms = −1 2, +1 2.

Магнітна модель атома

Магнітний момент атома визначається суперпозицією орбітальних та спінових магнітних моментів електронів. Протони та нейтрони, що входять до складу ядра, теж мають власний магнітний момент, однак, величина його внаслідок оберненої пропорційної залежності від маси виявляється у тисячі разів меншою ніж в електрона (див. формулу (11.2.4)) і у першому наближенні не враховується. Правила складання орбітальних та спінових моментів досить специфічні. Вони докладно вивчаються в курсі атомної фізики. Для вирішення задач макроскопічного характеру досить врахувати, що абсолютна величина магнітного моменту атома залишається незмінною, якщо енергія магнітної взаємодії орбітальних та спінових моментів електронів із зовнішнім магнітним полем мала, порівняно з енергією взаємодії цих моментів між собою. Тобто в слабкому магнітному полі магнітний момент атома зберігається за абсолютною величиною і може лише повертатися до напрямку поля. Ця обставина дозволяє моделювати магнітні властивості атома деяким довільним

замкненим молекулярним струмом І, який обмежує площу S, причому величина площі вибирається

такою, щоби добуток IS c

(СГС) дорівнював існуючому магнітному моментові атома.

11.3. Макроскопічна картина намагнічування

Вектор намагнічування (намагніченість)

З факту існування магнітного моменту атома та його властивості орієнтуватися в зовнішньому магнітному полі випливає, що довільний об’єм намагніченої речовини має відмінний від нуля магнітний момент. В межах елементарного об’єму величина магнітного моменту пропорційна величині цього об’єму. Коефіцієнт пропорційності

Δ P

M = m

Δ V

називається вектором намагнічування. Δ Pm

(11.3.1)

визначає суму магнітних моментів атомів, які входять у

Δ V. У Міжнародній системі одиниць ця величина отримала назву " намагніченість ". Вектор

намагнічування є макроскопічною характеристикою намагнічування магнетиків. Звертає на себе

увагу формальна подібність означень вектора намагнічення та вектора поляризації.

Теорема про циркуляцію В у магнетиках

В речовині магнітне поле отримує деяку добавку

B', тобто загальне поле є

B = B 0

+ B'.

Оскільки магнітне поле в магнетику змінюється, то формулу (4.4.2), яка описує циркуляцію В,

необхідно модифікувати, доповнивши праву частину її деяким параметром

I'. Цей параметр поки

що формально враховує зміну магнітного поля за рахунок упорядкованих молекулярних струмів магнетика, тобто

4π

∫ Bdl = (I + I '); (СГС). (11.3.2)

c

∫ Bdl = μ 0

(I + I '). (СІ).

I ' має розмірність сили струму і називається струмом намагнічування. З’ясуємо природу цього

струму, його просторовий розподіл та зв’язок з іншими параметрами.

Рис. 11.3.1. Модельна картина виникнення струмів намагнічування.

Струми намагнічування в однорідному магнетику

Внесемо стержень з однорідного магнетика в однорідне магнітне поле під довільним кутом θ

відносно В, рис. 11.3.1. а. Магнітні властивості атомів зобразимо молекулярними струмами. Вектор

М паралельний полю, тобто внесок у намагнічування дають лише вертикальні компоненти магнітних моментів молекулярних струмів. Тому можна вважати, що всі моменти атомів напрямлені вздовж поля. Перетнемо магнетик площиною, перпендикулярною В, та розглянемо сукупність розміщених на ній молекулярних струмів, рис. 11.3.1. б. З урахуванням того, що магнітний момент залежить лише від площі контуру, а не від його форми, молекулярні струми для зручності зображено у вигляді однакових квадратиків. Якщо магнетик однорідний, то магнітні моменти, тобто і молекулярні струми однакові, тому магнітні поля, утворені суміжними відрізками молекулярних струмів, взаємно компенсуються внаслідок протилежних напрямків струмів у них. Некомпенсованими залишаються лише внески від ділянок молекулярних струмів, які виходять на поверхню магнетика. Цей висновок дозволяє уявити просту макроскопічну модель намагнічування

однорідного магнетика у вигляді рівновеликої металевої поверхні, яку обтікає деякий замкнений

струм

I' – струм намагнічування, як показано стрілками на рис. 11.3.1. а. Отже, струм

намагнічування – це модельний, тобто фіктивний макроскопічний струм, який у магнітному відношенні еквівалентний сумарній дії молекулярних струмів.

Знайдемо зв’язок струму намагнічування з вектором намагнічування. Для цього на рис. 11.3.1. а виділимо двома паралельними площинами ділянку магнетика малої висоти

dh = dl cos θ. За означенням маємо

dp

M = m

dV

= dpm,

Sdl cos θ

де S – площа горизонтального перерізу стержня. Магнітний момент цього елемента

dpm

= dI' S. (CГС)

c

З двох останніх формул отримуємо

'

dI = Mdl cos θ = Mdl; (СГС) (11.3.3)

c

dI' = Mdl cos θ = Mdl. (СІ) (11.3.3’)

Струм намагнічування цілого стержня визначається інтегралом

I ' l

= ∫ Mdl. (СГС)

c o

Враховуючи, що за межами магнетика

M = 0, останню формулу можна виразити через лінійний

інтеграл уздовж довільного замкненого контуру – циркуляцію

'

I

∫ Mdl =,

c

(CГC) (11.3.4)

де I'

∫ Mdl = I', (CІ) (11.3.4’)

– повний струм намагнічування стержня. Отже, теорему про циркуляцію В для магнетика

можна подати у такому вигляді:

⎛ I ⎞

∫ Bdl = 4π⎜

⎝ c

+ ∫ Mdl ⎟; (СГС) (11.3.5)

⎠

∫ Bdl = μ 0 (I + ∫ Mdl).

(СІ) (11.3..5’)

Струми намагнічування в неоднорідному магнетику

Якщо залишити геометричні розміри молекулярних струмів незмінними, то неоднорідність магнетика буде врахована у припущенні, що суміжні молекулярні струми неоднакові. Тепер внески в магнітне поле від суміжних відрізків струмів компенсуються лише частково, тому в моделі неоднорідного магнетика, крім поверхневих, необхідно передбачити існування також і об’ємних

I

струмів намагнічування

об

'. Ця особливість неоднорідного магнетика дозволяє теорему про

I

об

циркуляцію В виразити в локальній формі. Використавши теорему Стокса та те, що

отримуємо

' = ∫ j' dS,

π⎜

⎟

∇ × B = 4 ⎛ j

⎝ c

+ ∇ × M ⎞,

⎠

(СГС) (11.3.6)

∇ × B = μ0 (j + ∇ × M).

(СІ) (11.3.6’)

11.4. Напруженість магнітного поля. Магнітна сприйнятність та магнітна проникність

Напруженість магнітного поля

Як і у випадку встановлення поняття електричного вектора D, поняття напруженості магнітного поля необхідно визначати окремо для кожної системи одиниць (СГС, СІ). Об’єднавши

інтеграли в (11.3.5), отримуємо

Лінійна комбінація векторів

I

∫ Hdl = 4π

c

. (СГС) (11.4.1)

H = B − 4π M

(CГC) (11.4.2)

називається напруженістю магнітного поля або просто вектором Н. Формула (11.4.2) є означенням вектора Н в СГС. В локальній формі рівність (11.4.1) має вигляд

∇ × H = 4π j. (СГС) (11.4.3)

c

В СІ напруженість магнітного поля вводиться по іншому. Спочатку μ0

переноситься у ліву частину й лише потім об’єднуються інтеграли, що дає

в (11.3.5’)

∫ Hdl = I, (СІ) (11.4.1’)

де напруженість магнітного поля визначається формулою

H = B

μ0

− M. (СІ) (11.4.2’)

Теорема про циркуляцію Н у локальній формі в СІ має вигляд

∇ × H = j. (СІ) (11.4.3’)

Фізичний зміст магнітних векторів

З означень векторів магнітного поля В і Н випливає, що основною характеристикою поля є індукція поля В, котра визначає силу, що діє на провідник із струмом чи на рухомий заряд. В цьому відношенні вектор індукції споріднений з електричним вектором Е – силовою характеристикою електричного поля. Вектор Н, як і електричний вектор D, виконує допоміжну функцію. Особливість його полягає в тому, що, як видно з (11.4.1) та (11.4.3), циркуляція та ротор Н не залежать від властивостей магнетика. Подібну властивість має вектор D, потік якого крізь замкнену поверхню та дивергенція визначаються лише сторонніми зарядами, тобто ці функції D не залежать від властивостей діелектрика.

Інваріантність вказаних функцій Н щодо природи магнетика важлива як в аналітичному, так і у практичному відношенні. Напруженість магнітного поля можна обчислити, помірявши попередньо силу струму та, врахувавши форму провідників, по яких він протікає, і не враховуючи

при цьому вплив магнетика, що оточує провідники. Отже, не виникає потреби у безпосередньому вимірюванні Н.

Магнітна сприйнятність та магнітна проникність

У багатьох практично важливих випадках вектор намагнічування пропорційний зовнішньому полю. Нелінійні ефекти намагнічування відчутні лише у феромагнетиках. Якщо дотримуватись аналогії з поляризацією діелектриків, де вектор поляризації зв’язується з напруженістю електричного поля, то М потрібно було би подавати як функцію індукції магнітного поля. Однак, історично склалося так, що вектор намагнічування визначають як функцію напруженості

магнітного поля, причому відповідна формула має однаковий вигляд в СГС та СІ

M = κ H,

(СГС, СІ) (11.4.4)

Коефіцієнт пропорційності κ називається магнітною сприйнятністю. Підставивши вираз для М у

(11.4.2) та (11.4.2’), отримуємо

B = μ H, μ = 1 + 4πκ СГС; (СГС) (11.4.5)

B = μμ 0 H, μ = 1+ κСІ, (СІ) (11.4.5’)

де макроскопічний параметр магнетика μ називається магнітною проникністю. Виходячи з

відповідних властивостей діелектриків (див. п. 2.8), можна стверджувати, що у випадку нелінійного

магнетика магнітна сприйнятність та проникність залежать од напруженості магнітного поля,

а в неоднорідному магнетику вони є функціями координат.

Фізичний зміст магнітної проникності з’ясуємо, виконавши в (11.4.1) заміну

H = B μ. Якщо

магнетик лінійний та однорідний, то μ = const (див. відповідні умови для D у діелектрику п. 2.10), а

також, коли лінії Н паралельні поверхні зразка магнетика (див. умову (11.5.3)), то отримуємо

4π

∫ Bdl =

μ I. (11.4.6)

c

У відсутності магнетика маємо ∫ B 0 dl = 4π I

c, тобто

μ = B B 0

. (11.4.7)

З останньої формули випливає, що магнітна проникність має однакове значення в обох системах

одиниць, оскільки – це число, яке визначає, у скільки разів змінюється індукція поля при заповненні

простору між струмами однорідним та лінійним магнетиком. Як видно з (11.4.7), μ

визначається

оберненим співвідношенням, порівняно з діелектричною проникністю, для якої

ε = E 0

E. У

випадку парамагнетика μ дещо перевищує одиницю, а у феромагнетику

μ >> 1. В діамагнетиках

сприйнятність має від’ємне значення, хоча і дуже мале, тому μ там дещо менше за одиницю.

Розмірності та одиниці

З формули (11.4.2’) видно, що в СІ розмірності Н та М однакові, проте не дорівнюють

розмірності В { H }= { M }= { B μ0 }= А м. Одиниця напруженості магнітного поля в СІ названа за її

розмірністю – "ампер-на-метр". Одиниця індукції магнітного поля в СІ називається тесла (Тл).

З формули (11.4.2) випливає, що в СГС всі три магнітні вектори мають однакову розмірність, причому В та Н мають однаковий масштаб. Одиниця напруженості магнітного поля називається ерстед (Е), а одиниця індукції – гаус (Гс). Тобто, стверджуючи, що величина магнітного поля дорівнює 100 ерстед чи 100 гаус, ми лише підкреслюємо, що в першому випадку йдеться про напруженість, а в іншому про індукцію магнітного поля.

Знайдемо зв’язок між одиницями напруженості магнітного поля в СГС та СІ на прикладі

лінійного нескінченого провідника зі струмом

I = 1A. Інтегруючи вздовж силової лінії довжиною

l =1м, отримуємо з (11.4.1’), що напруженість на цій силовій лінії дорівнює

1А м. В СГС

I = 3 ×109 од. струму,

1 A м ↔ 4π ×10−3 Е.

l =100 см

і з (11.4.1) маємо

H = 4π 103 E. Таким чином,

11.5. Магнітне поле на межі двох магнетиків

Дослідимо поведінку магнітних векторів поблизу межі, яка розділяє два магнетики із

проникностями

μ1 та

μ 2. Як і у відповідній задачі для електричних векторів у діелектрику (2.9),

знайдемо залежність між нормальними та тангенціальними компонентами В і Н по різні боки від межі поділу.

Нормальні компоненти

Для встановлення співвідношень між нормальними компонентами магнітних векторів

використаємо теорему Гауса для В. Побудуємо циліндр малої висоти h та площею основи Δ S так,

щоб основи знаходились по різні боки від межі, рис. 11.5.1. Потік В крізь цю замкнену поверхню

B 1 n 1 Δ S + B 2 n 2 Δ S + Φ б = 0.

Рис. 11.5.1. До встановлення умов на границі для нормальних компонентів В та Н.

Потоком Φ б

крізь бічну поверхню нехтуємо, оскільки

h → 0. Врахувавши, що

n 1 = n i n 2 = − n,

приходимо до висновку, що нормальна компонента вектора В при переході крізь межу поділу магнетиків не змінюється

B 1 n = B 2 n.

(11.5.1)

Використавши формулу компонентів Н

B = μ H, отримуємо відповідну граничну умову для нормальних

H 1 n

H 2 n

= μ2. (11.5.2)

μ1

Нормальна компонента напруженості магнітного поля зазнає розриву.

Тангенціальні компоненти

Умови на границі для тангенціальних компонентів отримуємо, використавши теорему про циркуляцію Н. Побудуємо контур у вигляді прямокутника малої висоти h та довжини l, як це зображено на рис. 11.5.2. Маємо

H 1 t l − H 2 t l = I, (CI)

де І – струм, який може протікати крізь цей контур. В рівнянні відкинуто члени, які відповідають

внескам од вертикальних сторін прямокутника. Якщо струм крізь контур відсутній, то

H 1 t = H 2 t. (11.5.3)

Тангенціальні компоненти вектора напруженості не перериваються.

Відповідно, для тангенціальних компонентів В отримуємо

B 1 t

B 2 t

= μ1. (11.5.4)

μ2

Рис. 11.5.2. До встановлення умов на границі для тангенціальних компонент В та Н.

Нижче наведено приклади технічного використання властивостей магнітного поля на межі розділу магнетиків.

Лінійність шкали приладів магнітоелектричної системи

Робота приладів магнітоелектричної системи ґрунтується на взаємодії рамки з вимірюваним струмом (чи відомої його частини при наявності шунта) із магнітним полем постійного магніту.

Схему приладу подано на рис. 11.5.3. а. До котушки у вигляді прямокутної рамки прикріплюється стрілка-укажчик. У дзеркальних гальванометрах замість стрілки використовується легеньке дзеркальце, на яке посилається пучок світла. Плоска пружинна спіраль одним кінцем

прикріплюється до осі, разом із якою обертається рамка, іншим – до корпуса приладу. Під час

повороту рамки зі струмом на кут ϕ

момент

пружина закручується, створюючи протидіючий механічний

M ' = k ϕ.

Рис. 11.5.3. Приклади застосування граничних умов для магнітного поля: а) схема приладу магнітоелектричної системи; б) магнітне екранування.

Водночас пружини слугують для підведення струму до рамки. У чутливому дзеркальному гальванометрі протидіючий момент та підведення струму забезпечують пружні металеві нитки-

розтяжки. У випадку однорідного магнітного поля механічний момент рамки описується формулою

(4.9.2) M = ISNB sin α, де І – сила струму, S – площа, N – число витків котушки, α

– кут між

pm та

В. З рівності моментів M = M '

випливає, що сила струму

I = k ϕ.

SnB sin (α0 − ϕ)

Тут

α 0 – початковий кут між

pm та B, а і

α = α 0 − ϕ. Присутність синуса кута

α 0 − ϕ у

знаменнику свідчить, що шкала такого приладу повинна бути нелінійною. Однак, із формули видно,

що шкала буде лінійною, якщо кут α 0 − ϕ сталий, наприклад, π 2. В цьому випадку для будь-якого

положення рамки силові лінії ковзають по її поверхні. Цій умові відповідає не однорідне, а

радіально-симетричне магнітне поле, для якого з попередньої формули отримуємо

I = k

SnB

ϕ. (11.5.5)

Радіальна конфігурація поля досягається за допомогою полюсних наконечників магніту та циліндричного балона, які. разом утворюють циліндричну порожнину, в якій обертається рамка. Ці

деталі виготовляються із заліза, яке як феромагнетик має значну магнітну проникність

μ1 ~ 103,

тоді як для повітря

μ2 ~ 1. З умови (11.5.4) випливає, що у повітрі тангенціальна компонента В на

три порядки менша ніж у магнетику, тобто силові лінії входять у феромагнетик та виходять із нього практично перпендикулярно до поверхні. Це забезпечує фактично радіальну конфігурацію магнітного поля у проміжку між циліндром та полюсними наконечниками, тобто й лінійність шкали приладів магнітоелектричної системи.

Магнітне екранування

З попереднього прикладу випливає, що лінії В та Н у повітрі складають із поверхнею

феромагнетика кут, близький до

90o. Часто в розрахунках магнітних кіл електричних машин цей

кут вважають точно рівним 90o. Відповідну властивість мають силові лінії електричного поля біля поверхні металу і ця властивість органічно пов’язана з екрануючою здатністю металів стосовно електричного поля. Подібно до того, як металевий кожух захищає розміщені в ньому прилади від електростатичних завад, так і феромагнітний кожух, правда, із достатньо товстими стінками захищає прилади від дії зовнішнього магнітного поля, значно його послаблюючи. На рис. 11.5.3. б видно, що лінії В згущуються у феромагнітній оболонці, обминаючи тим порожнину. Розрахунок дає, що для сферичної оболонки із внутрішнім радіусом, рівним половині зовнішнього, і з

магнітною проникністю μ = 1300 індукція поля в порожнині складає лише 0, 001 частку від індукції

зовнішнього поля.

11.6. Діамагнетизм

Природа діамагнетизму

Індукція магнітного поля пропорційна швидкості руху зарядів. Наприклад, для точкового

заряду маємо

B = q v × r

r 3. Енергія магнітного поля як скалярна величина пропорційна

B 2, тому

зміна її внаслідок намагнічування означає зміну за модулем швидкості руху зарядів. З іншого боку, відомо, що сила Лоренца, маючи напрямок, перпендикулярний до швидкості руху зарядженої частинки, не змінює її за абсолютним значенням. На перший погляд, із цих фактів випливає, що речовина взагалі не повинна намагнічуватись. Однак, явище намагнічування є надійно встановленим експериментальним фактом і це змушує нас уточнити цей висновок: стаціонарне магнітне поле не може бути безпосередньою причиною намагнічування речовини. У зв’язку з цим відповідь на питання про механізми намагнічування речовини необхідно шукати за межами стаціонарного поля. Перш за все, врахуємо, що зовнішнє магнітне поле не завжди було стаціонарним. Увімкнене в певний момент часу, воно далі зростає до свого максимального значення. За законом електромагнітної індукції змінне магнітне поле породжує вихрове електричне поле, яке, на відміну від магнітного поля, змінює швидкість руху зарядів за модулем. За правилом Ленца магнітне поле індукованого струму компенсує зміну зовнішнього магнітного поля. Якщо

зовнішнє поле зростає, то магнітне поле, індуковане додатковим рухом електричних зарядів,

повинно мати протилежний напрямок. Загальне магнітне поле зменшується, тобто має місце явище діамагнетизму. Отже, діамагнетизм має електроіндукційну природу, причиною його є виникнення вихрового електричного поля внаслідок зміни зовнішнього магнітного поля.

Діамагнітна сприйнятність

З’ясувавши природу діамагнетизму, можна тепер приступити до розробки кількісної теорії цього явища. В якості моделі розглянемо електрон, який обертається навколо атомного ядра вздовж довільно орієнтованої колової орбіти, рис. 11.6.1. Поле В паралельне осі 0Z. З формули

∇ × Ε = − ∂ B c ∂ t

випливає, що вектор Е індукованого електричного поля перпендикулярний до

∂ B ∂ t, тобто й до В, отже він належать площині XY. В однорідному магнітному полі силова лінія

вихрового електричного поля (як підказують нам міркування симетрії) має вигляд кола з центром на

ядрі. На рисунку лінія електричного поля проведена через точку, де в даний момент часу знаходиться електрон. Якщо зовнішнє магнітне поле створюється соленоїдом, то характеристичний

час, який визначає швидкість його наростання

τ = L R k

(L – індуктивність соленоїда,

Rk – опір

кола), значно перевищує величину періоду орбітального руху електрона

(T ~ 10−15 c), тому на

протязі часу, рівного одному періоду, можна знехтувати зміною радіуса орбіти під дією магнітних сил. Врахувавши це, отримуємо із закону електромагнітної індукції, інтегруючи вздовж силової

лінії,

π r 2

∫ Edl = 2π rE = −

c

dB, (СГС)

dt

тобто вихрове електричне поле

E = − r

2 c

dB

. (СГС)

dt

Приріст лінійної швидкості отримуємо, розв’язавши рівняння

d v = − eE = er

dB, (СГС)

що дає

dt m

2 mc dt

Δv = eBr. (СГС) (11.6.1)

2 mc

Результат, як з’ясувалось, не залежить од характеру зміни магнітного поля за часом. Відповідна кутова швидкість складає

Δv

Ω == =

e B

. (СГС) (11.6.2)

r 2 mc

Ω = e B. ( СІ) (11.6.2’)

2 m

Рух електрона можна розглядати як суперпозицію двох рухів: обертання по коловій орбіті з

кутовою швидкістю ω

і водночас обертання площини орбіти навколо напрямку магнітного поля з

кутовою швидкістю

Ω << ω. Цей рух можна уявити як прецесію вектора ω

навколо вектора

магнітного поля з кутовою швидкістю Ω. Постійне магнітне поле лише підтримує прецесійний рух

електрона. Параметр Ω

називається частотою прецесії або частотою Лармора на честь вченого,

який розв’язав цю проблему. Виникнення прецесійного руху електрона еквівалентно виникненню додаткового струму, який створює магнітний момент, протилежний зовнішньому полю. Величина цього моменту за формулою (11.2.2) є

e Ω r 2

δ p = −

2 c

. (СГС)

Підставивши значення Ω із (11.6.2), отримуємо

e 2 r 2

δ p = −

4 mc 2

B. (СГС) (11.6.3)

Рис. 11.6.1. Модель явища діамагнетизму.

Величину намагніченості знайдемо, склавши індуковані моменти орбітальних електронів у одиниці об’єму. Якщо Z – порядковий номер атома, тобто й число електронів у ньому, а n – концентрація атомів, то

ne 2 B

M =

Z

∑ r 2 =

nZe 2 r 2

B,

2 Z 2

4 mc 2 i =1 i

4 mc 2

де r

= ∑ ri

i =1

Z – середнє значення квадрата радіуса силової лінії електричного поля. Силова

лінія належить площині XY, тому, врахувавши рівноправність координат x, y, тобто

x 2 =

y 2,

отримуємо

r 2 = 2 x 2

. Орієнтація електронної орбіти довільна, тому радіус її R визначається

трьома рівноправними координатами x, y, z, що дає

R 2 = 3 x 2

. Таким чином,

r 2 = 2 R 2 3 і

ми отримуємо

M = −

e 2 nZ R 2

B.

(СГС) (11.6.4)

6 mc 2

Величину R 2

можна трактувати як квадрат радіуса атома.

Для визначення діамагнітної сприйнятності необхідно виразити М як функцію Н.

Позначивши множник біля В у (11.6.4) як κ та, використавши формулу (11.4.2), маємо

κ

M = −

1 − 4πκ

H. (СГС) (11.6.5)

Оцінимо чисельне значення

κ. Концентрація атомів магнетика в конденсованому стані близька до

числа Авогадро

n ~ 1023 см-3. Атомний номер віднесемо до середини періодичної системи, тобто

Z = 50. Нехай радіус атома

R ~ 10−8см.

Використавши табличні значення е, m та c, отримуємо

κ ~ −10−6. Мале значення κ

дозволяє знехтувати у знаменнику формули (11.6.5) величиною

4πκ,

тобто κ по суті описує діамагнітну сприйнятність магнетика

κ = M

e 2 nZ 2 R 2

= −.

(СГС) (11.6.6)

H 6 mc 2

Від’ємний знак у (11.6.6) виражає факт послаблення магнітного поля в діамагнетику.

З точки зору квантової теорії формула (11.6.6) отримана некоректним способом. Дійсно, квантова теорія хоч і використовує поняття механічного та магнітного орбітального моменту, проте поняття орбітального руху і, взагалі, траєкторії руху частинки тут відсутнє, оскільки згідно із співвідношенням невизначеностей не можна одночасно виміряти координату та швидкість. Цю задачу квантова теорія розв’язує власними засобами, не використовуючи запропоновані вище модельні уявлення. Однак, незважаючи на різні підходи, кінцевий результат для діамагнітної сприйнятності речовини виявляється тотожним класичній формулі (11.6.6).

Діамагнетики

З розглянутого випливає, що діамагнетизм є універсальним явищем. Однак, цей механізм створює дуже слабке намагнічування, котре у багатьох випадках маскується більш сильним явищем парамагнетизму й, особливо, феромагнетизму. Тому прояви діамагнетизму можна спостерігати лише в речовинах, де інші механізми намагнічування відсутні. Цій вимозі відповідає відсутність магнітних моментів у структурних елементах (атоми, іони, молекули) речовини.

Якісно електронну структуру атомів можна зрозуміти на основі принципу Паулі. Згідно з матеріалом, викладеним у п. 6.2, стани атомних електронів описуються квантовими числами

n,l, ml,s,ms. Спінове квантове число є однаковим для всіх електронів (s = 1 2). Електрони, що

входять до однієї підоболонки, мають однакові значення n та l, а тому повинні відрізнятися

значеннями

ml і/або

ms. Тобто максимальне число електронів, які можуть розміститися на

підоболонці, дорівнює

2(2 ml +1). Магнітні спінові та орбітальні моменти електронів заповненої

підоболонки взаємно компенсуються і повний момент її дорівнює нулеві. Отже, якщо електрони атома входять лише до заповнених підоболонок, то магнітний момент атома дорівнює нулеві.

Розглянемо, наприклад, атом гелію. Його два електрони входять в оболонку

n =1 ,l = 0, тобто

ml 1 = ml 2 = 0; m s1 = −1 2; m s2 = 1 2, і

pm = 0.

В атомах інертних газів од неону до радону на

зовнішніх р -підоболонках (n = 2 ÷ 6 ,l = 2)

знаходиться максимальне для р -підоболонки число

електронів – шість, тому ці гази теж є діамагнетиками. З інших елементарних речовин

діамагнетиком є мідь, цинк, вісмут, срібло, золото та ін. Діамагнітними є більшість кристалічних

сполук з іонним типом зв’язку. Так, електронна структура іонів

Na+

та F−

збігається з

електронною структурою благородного газу неону, розміщеного між ними у таблиці Менделєєва.

Отже, кристал

NaF належить до діамагнетиків, як і всі інші лужно-галоїдні сполуки.

Діамагнетики легко відрізнити від інших магнетиків за їхньою поведінкою у неоднорідному магнітному полі. Оскільки вектор намагнічування діамагнетика завжди спрямований протилежно зовнішньому магнітному полю, то цей матеріал згідно з висновком п. 4.10 буде виштовхуватися з поля. Якщо діамагнітний зразок має вигляд тонкого стержня, підвішеного за його середину на нитці, то в магнітному полі стержень, повертаючись перпендикулярно до ліній поля, встановлюється на середній лінії між полюсами магніту. Саме вздовж цієї лінії розміщені точки з

мінімальним значенням магнітного поля, тобто з його нульовим градієнтом (F ~ ∇ Bz, див. п. 4.10).