Проходження повільно змінюючихся сигналів у автоколивальних нелінійних системах

Розглянемо випадок, коли до нелінійної САУ прикладено зовнішнє збудження яке повільно змінюється, при цьому спектр можливих змінювань V(t) набагато менший ніж частота коливань .

Загальне рівняння динаміки у цьому випадну буде мати вигляд

A(p)x(t)+B(p)F(x)=C(p)V(t), (3.18)

а рішення його будемо шукати у вигляді x(t)=x₀+x*(t), де ,

x₀ - повільно змінювана у порівнянні із x* функція часу. Якщо вважати, що за один період коливань x* зміна величини x₀ є незначною, то можна використовувати формули гармонічної лінеаризації для несиметричних коливань, тобто

F(x)=F₀(x₀,A)+[g(x₀,A)+jb(x₀,A)]x* (3.19)

В цьому випадку основне рівняння динаміки може бути розбито на два:

для складових, що повільно змінюються у процесі керування

A(p)x₀+B(p)F₀(x₀,A)=C(p)V(t),

та рівняння, яке описує режим автоколивань

{A(p)+B(p)[g(x₀,A)+jb(x₀,A)]}x*=0.

З другого рівняння можна знайти залежність A(x₀), яка після підстановки у F₀(x₀,A) дає нову нелінійну функцію , а рівняння для процесу керування набуває вигляд

A(p)x₀+B(p)Ф(x₀)=C(p)V(t)

Однак, треба зауважити, що нелінійна функція Ф(x₀) має таку властивість, що вона має вигляд гладкої кривої навіть у випадку істотно нелінійних характеристик F(x) і тому допускає розклад у ряд Тейлора та може бути лінеаризована звичайним порядком, тобто

(3.20)

Дійсно, у силу того, що Ф(x)=F(x₀,A(x₀)), то

,

а за один період автоколивань

,

то

(3.21)

Таким чином, коефіцієнт лінеаризації по сигналу, що повільнозмінюється, можна знайти безпосередньо із виразу не виконуючи побудови функції .

Отже, з урахуванням коефіцієнту підсилення нелінійності K_н у процесі управління рівняння для процесу буде мати вигляд:

яке вирішується засобами теорії лінійних систем.

Так, для нелінійності із зоною нечутливості