Дослідження коливальних перехідних процесів у нелінійних системах керування

Нехай у нелінійній системі спостерігаються коливальні перехідні процеси, які можуть бути згасаючими до нуля, розходитися або переходити у автоколивання.

Властивий рух системи описується рівнянням

а коливальний перехідний процес у системі у першому наближенні може бути описаний синусоїдою з повільно-змінюваними у часі показником стухань та частотою

. (3.12)

Поточне значення частоти у довільний момент часу визначається як

або , де початкова фаза.

Поточне значення амплітуди визначається залежністю

або , відкіля .

Отже, обвідна є експонентою, яка має безперервно змінюючийся показник (Рис.3.13)

Рис. 3.10 Особливості перехідних процесів в нелінійнох системах

Очевидно, що при процес буде розбігатися, а при

- буде збігатися.

В цьому випадку гармонічна лінеаризація буде проводитися за умови

(3.14)

З цих умов знайдемо та

. (3.15)

Тому що вихідна змінна нелінійного елементу за першою гармонікою буде мати вигляд:

а перша гармоніка нелінійної функції при буде

,

то при цьому

,

де

(3.16)

Тому що характер коливальних процесів визначається комплексними коренями характеристичного рівняння замкненої системи, то із

,

де при підстановці маємо

(3.17)

з невідомими параметрами коливального процесу .

Якщо представити рівняння (3.17) у вигляді

,

то можна знайти параметри якщо визначити їх через , тобто та

Знання цих залежностей достатньо для оцінки швидкості згасання та частоти автоколивань перехідного процесу дійсно, тому що

та

то

.

Отже, у результаті здобуваємо

Якщо треба вибрати який-небудь параметр системи так, щоб та задовольняли заданим вимогам, то можна побудувати діаграми якості по цьому параметру. Діаграма представляє собою сімейство ліній =const та на площині координат та , де - який-небудь параметр системи (Рис.3.11). Значення відповідають відсутності згасань, тобто режиму автоколивань з амплітудою . Нижче лінії CD процеси будуть згасати, вище-збігатися.

Отже, лінія CD- відповідає режиму автоколивань.

Рис. 3.11 Діаграма для визначення режиму автоколивань

.

Нехай система має вигляд (Рис.3.12), де

Рис.3.12 Нелінійна система із місцевим зворотнгим зв’язком

Тому що , то характеристичне рівняння буде

Після підстановки рівняння можна поділити на два

Із другого рівняння здобудемо

,

а із першого

,

де

що дозволяє побудувати діаграми по параметрам та .

Діаграми показують, що при початковому значенні розглядуваного параметру, яке відповідає точці , процес буде згасати до нуля, то при початкових значеннях у точках та процес буде відповідно розходитися або згасати до встановлення режиму автоколивань () з амплітудою

Рис. 3.13 Діаграми якості