Принцип аргументу

Розглянемо характеристичне рівняння замкненої системи (Рис.2.121)

Рис.2.121 Узагальнена схема замкнутої системи

Хай

(2.187)

Вираз приймає вигляд

,

який з урахуванням коренів чисельника та знаменника можна записати у вигляді множників

де чисельник виражає характеристичне рівняння замкненої системи, а знаменник – характеристичне рівняння умовно розімкненої системи. Перехід до частотних характеристик виконується за допомогою перетворення . При цьому, співвідношення приймає вигляд

де

– характеристичний вектор замкненої системи.

– характеристичний вектор умовно розімкненої системи.

Розглянемо поведінку характеристичного вектора при зміні частоти . Для цього будемо досліджувати поведінку елементарного вектора за умови .

При зміні частоти від до кінець вектора , який лежить на уявній осі, буде рухатись по уявній осі від до , а сам вектор повернеться на кут проти годинникової стрілки, тобто у додатному напрямку.

Рис. 2.22 До поняття принціпу аргументу (неперервний варіант)

Якщо корінь буде правий, тобто лежить у правій півплощині s, то приріст аргументу буде здійснюватись у протилежному напрямку, тобто у від`ємному напрямку.

Отже, якщо , то , (2.188)

якщо , то (2.189)

Визначимо, як буде змінюватись приріст аргументу для характеристичного вектору .

Тому що, , а всі лежать зліва відносно уявної осі, то

.

Якщо ж декілька коренів характеристичного вектору будуть правими, то

(2.190)

Зміна приросту аргументу для характеристичного вектору буде виконуватись аналогічно: якщо всі лежать зліва відносно уявної осі, то

Аналогічно можна визначити і повний приріст вектора характеристичного рівняння

(2.191)

Хай структурна схема дискретної системи зведена до вигляду (Рис.2.123), де

(2.192)

Рис.2.123 Узагальнена схема дискретної системи

При цьому передаточна функцiя замкненої системи буде

Розглянемо вектор

де є характеристичним полiномом замкненої системи, а – характеристичний полiном розiмкненої системи. Очевидно, що порядки полiномiв та рiвнi. Запишемо характеристичний полiном замкненої системи, який визначає стiйкiсть системи, у виглядi

де – коренi полiному . Тодi прирiст його аргументу при змiнi у межах дорiвнює (2.193)

Розглянемо окрему складову . Хай . Тодi при змiнi вiд до вектор добуде фазовий прирiст, який дорiвнює (Рис.2.96 а). Якщо , то при змiнi частоти вiд до вектор аргумент прирiсту не набуває (Рис.2.124) б)

а) б)

Рис.2.124 До поняття принціпу аргументу (дискретний варіант)

Таким чином,

(2.194)

Хай має коренiв та коренiв .

Тодi

Якщо ж має коренiв , то

(2.195)

що вiдповiдає умовам стiйкостi замкненої системи.