Хай лінійна система керування описується системою рівнянь

або

Хай дана система

Для того, щоб визначити умови, якi накладаються на функцiї при яких нульове рiшення системи буде стiйке, функцiя Ляпунова повинна бути знакопостійною.

Отже, .

Таким чином на розглядуваній кривій функцiя V(х₁х₂) перетворюється у функцiю аргументу часу t, що дозволяє визначити похiдну.

Функцiя V представляє собою квадрат вiдстанi вiд iнтегральної кривої до початку координат. Тому нульове рiшення цiєї системи буде явно стiйким, якщо ця вiддаль монотонно зменшується при . Для цього потрiбно, щоб виконувались умови

при .

Отже, якщо , то перетворивши вираз

де .

Одержимо умови стiйкостi системи .

Хай система автоматичного управлiння описується рiвнянням

Функцiю Ляпунова виберемо у вигляд

Тодi

Для стiйкостi системи, тобто для виконання умов треба, щоб виконувалась .

Квадратична форма або матриця є додатно визначеною, вiд'ємно визначеною, знакододатною, знаковiд'ємною, невизначеною або тотожно рiвною нулю тiльки i тiльки у тому випадку, якщо властивi значення матрицi , якi для симетричної матрицi дiйснi, вiдповiдно всi додатнi, всi вiд'ємнi, всi невiд'ємнi, всi не додатнi, мають рiвнi знаки або всi дорiвнюють нулю.

Очевидно, що на пiдставi виразу

(2.122)

можна визначити через криволiнiйний iнтеграл

(2.123)

функцiю Ляпунова Вiдомо, що скалярна функцiя визначається iз криволiнiйного інтегралу вiд вектора у тому випадку, якщо не залежить вiд шляху iнтегрування. Для цього ж необхiдно i достатньо, щоб виконувалися умови

(2.124)

де – i-та складова градiєнту

В цьому випадку

(2.125)

Хай система описується диференцiйним рiвнянням або рiвнянням у змiнних стану

Визначимо градiєнт функцiї Ляпунова у виглядi

та будемо шукати похiдну вiд функцiї Ляпунова у виглядi

Якщо прийняти , здобудемо

Якщо , то i для виконання умови повинно виконуватись .

При цьому

Функцiя Ляпунова може бути визначена по криволiнiйному інтегралу

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

P.S.

для незалежностi вiд шляху iнтегрування повинна виконуватись умова

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Відомо, що канонічною формою рівняння зветься такий їх вигляд, коли матриця приведена до жорданового вигляду. Зробимо заміну . Тоді , , де .

Зробимо заміну . При цьому буде визначати канонічну форму рівняння руху.

Для того, щоб стану рівноваги системи відповідав єдиний стан рівноваги необхідно, щоб визначник системи не дорівнював нулю, тобто щоб виконувалася умова або . Якщо врахувати, що , , , будемо мати .