Наприклад: інерційна нелінійна ланка

Структурну схему такої ланки можна представити у вигляді

Рис.1.39 Приклад нелінійного елементу

В результаті декомпозиції нелінійної ланки її можна представити у вигляді лінійної частини та нелінійної частини, яка і визначає вигляд нелінійності системи, ланки. При цьому математична модель ланки буде записана у вигляді

,

де друге рівняння визначає саму нелінійність ланки.

Нелінійності, як правило, можуть бути виражені своїми статичними характеристиками, які можуть бути суттєвими та несуттєвими.

Несуттєві нелінійні характеристики - це характеристики, які допускають неперервне диференціювання та можуть бути розкладені поблизу робочої точки у ряд Тейлора із урахуванням величини сигналів, які діють на вході нелінійності.

Суттєві - нелінійні характеристики, які не допускають такого розкладення, тому що вони не можуть бути апроксимовані однім рівнянням прямої лінії, а у точках переходу з одної ділянки апроксимації до другої обов'язково спостерігається розрив похідної.

Таким чином нелінійну систему можна визначити як таку систему, у структурі якої є хоч би один елемент з нелінійною статичною характеристикою.

За характером зміни оператора нелінійної системи у часі нелінійні системи також як лінійні поділяються на стаціонарні та нестаціонарні.

За характером нелінійної статичної характеристики нелінійні системи поділяються на системи з несуттєвими та суттєвими нелінійностями.

Якщо похідна нелінійної статичної характеристики має розриви у деяких точках, то така характеристика вважається суттєво-нелінійною, а сама система – суттєво-нелінійною системою (Рис.1.40).

.

Рис. 1.40 Характеристика типових нелінійностей

Нелінійності із статичними характеристиками можуть бути неперервними та релейними (Рис1.41);

Рис.1.41 Нелінійності із статичними характеристиками

однозначними та не однозначними (Рис. 1.42);

Рис. 1.42 Приклади однозначних та неоднозначних характеристик

не парно-симетричними та парно-симетричними (Рис.1.43); несиметричними (Рис.1.44).

Рис. 1.43 Не перно-симетрична та парно- симетрична Рис. 1.44 Несиметрична

характеристики характеристика

Приклад типової нелінійної замкненої слідкуючої системи керування кутом повороту вихідного валу представлено на Рис.1.45. В цьому випадку місцевий зворотний звя’зок по швидкості обертання валу ДПС виконує роль коректуючого пристрою.

Рис.1.45 Типова нелінійна система керування швидкістю обертання валу навантаження з ДПС

Характерні не лінійності в механічних пристроях. Прагнення "вижати" із системи найкращі можливі характеристики приводить до того, що проектувальник зіштовхується із ефектами, які пов'язані із властивими механічним системам нелінійностями, такими як "люфт”, “тертя”, “насичення”, “зона нечутливості" тощо. Наявність тертя у механічних ланках САУ оказує суттєвий вплив на її динаміку. У високоякісних електромеханічних та електрогідравлічних системах тертя у виконавчому механізмі часто є тим елементом, нелінійність якого приходиться враховувати поперед усього в розрахунках.

У теорії управління прийнято розрізняти наступні складові моменту тертя:

1. Момент тертя, який лінійно залежить від швидкості (Рис. 1.46). Таке тертя прийнято називати лінійним або в'язким

Рис. 1.46 Момент тертя Рис.1.47 Сухе тертя Рис. 1.48 Квадратична залежність

2. Нелінійна складова моменту тертя або сухе, кулонівське тертя (Рис.1.47).

3. При великих швидкостях взаємного переміщення частин механізмів, які мають тертя, інколи враховується квадратична залежність моменту тертя від відносної швидкості переміщень (Рис.1.48) .

Таким чином, типову залежність моменту тертя від можна описати наступним рівнянням .

Зовнішнім тертям називається опір, який створюється між двома стичними під дією стискаючих навантажень точками у площині торкання.

Сила опору, яка направлена у бік, протилежний зсуваючому зусиллю, називається силою тертя.

По величині переміщення у залежності від його зсуваючого зусилля поділяють силу тертя руху, неповну силу тертя спокою та повну силу тертя спокою.

У електромеханічних приводах момент тертя спокою визначається напругою зрушення двигуна.

Другою важливою нелінійністю у електромеханічних приводах САУ є люфт (Рис.1.49). Існують різноманітні математичні моделі люфту, найбільш поширеною з яких дає геометричну інтерпретацію у вигляді

де - значення вихідного сигналу у останній момент часу, для котрого стало менше .

Рис.1.49 Характеристика люфта

Особливістю характеристики люфту є петля гістерезису типу, яка має ширину та довжину, яка змінюється у залежності від амплітуди вхідного сигналу.

Очевидно, що люфт тим більше важливий, чим менше переміщення x.

Необхідно також ураховувати, що у час вибирання люфту () ведений елемент механічної передачі відключається від ведучого і, отже, зменшується статичне та динамічне навантаження на ведучий елемент. У час вибирання люфту сигнал жорсткого зворотного зв'язку залишається постійним, тобто на цей час система нібито стає розімкнутою

Рис. 1.50 Люфт у механічних системах передачі (редуктор)

1.2.11 Класифікація систем автоматичного керування за характером похибки у сталому режиму.

Системи автоматичного керування у залежності від наявності похибки від діючих на систему задаючих та збуджуючих впливів у сталих режимах поділяються на статичні та астатичні.

Під сталими розуміються такі режими роботи, при яких похідні змінних стану є сталими величинами. Якщо ж похідні дорівнюють нулю, то динамічних перетворень у системі немає, тобто всі змінні стану є сталими.

Розглядаючи структуру системи автоматичного керування із замкненим принципом керування (Рис.1.51.) неважко знайти залежність повної похибки при постійних зовнішніх впливах

Рис.1. 51 Структура системи автоматичного керування із замкненим принципом керування

Коли всі похідні будуть зроблені рівними нулю

то система вважається такою, що знаходиться у статиці, а похибка – похибкою сталого режиму, тобто

(1.35)
Система називається статичною по відношенню до діючого впливу, якщо при впливі, який з часом наближається до деякого сталого значення, похибка також наближається до сталого значення, залежного від величини сталого впливу (Рис.1.54а).

(1.36)
(1.37)

Рис.1.52. Залежність похибки від задаючого та збуджуючого впливів

Рис. 1.53 Типова статична система керування швидкістю обертання валу

навантаження з ДПС

Система автоматичного керування є астатичною по відношенню до діючого впливу, якщо при впливах, які з часом наближаються до сталого значення, похибка наближається до нуля незалежно від величини впливу (Рис. 154в). Таким чином сама структура системи та її параметри несуть інформацію про належність системи до того, чи іншого виду.

Так, якщо всі часткові оператори системи у сталих режимах будуть дорівнювати сталим коефіцієнтам , які не дорівнюють нескінченності, то співвідношення (1.32) будуть здійснюватися

тобто система буде статичною як по відношенню до задаючого, так і збуджуючого впливів.

а) в)

статична астатична

Рис. 1.54 Реакції системи а) статичної та в) астатичної на задаючий вплив

Якщо ж у сталих режимах хоч би один із операторів буде дорівнювати нескінченості, то похибка в системі буде дорівнювати нулю незалежно від діючого впливу

а система буде вважатися астатичною.

Якщо ж значення коефіцієнтів у сталому режимі теж буде прямувати до нескінченості, тобто

то система буде астатичною по відношенню до задаючого впливу та статичною до збуджуючого впливу. Приклад такої системи керування показано на Рис.1.55

Рис. 1.55 Типова астатична система керування швидкістю обертання валу

навантаження з ДПС

П 1.1

Скласти математичну модель системи керування швидкістю обертання валу навантаження

1. Система складається з давача задаючого впливу П₁, попереднього підсилювача К₁, підсилювача потужності К_Y, двигуна постійного струменю ДПС, редуктора Р.
2. Визначимо рівняння для кожного елемента системи

У якості давача задаючого впливу обрано потенціометр, який запитується постійною напругою =U. На виході повзунка потенціометра знімається напруга U_g, яка характеризує задаючий вплив g(t).

Попередній підсилювач з коефіцієнтом підсилювання К₁ навантажено на вхід підсилювача потужності, вхідний опір якого значно більше ніж вихідний опір попереднього підсилювача. Отже, рівняння, яке зв’язує вихід попереднього підсилювача з його входом є лінійним алгебраїчним рівнянням .

Розглянемо рівняння підсилювача потужності, який має коефіцієнт підсилювання К₂. Підсилювач потужності з внутрішнім опіром R_і навантажено на якірний ланцюг з копіром R_Я та індуктивністю L_Я двигуна постійного струменю з незалежним збудженням. Відповідно другому закону Кіргофа можна скласти рівняння для якірного ланцюга

,

де -- Напруга холостого ходу на виході підсилювача

-- проти ЕДС двигуна ,

-- швидкість холостого ходу.

Запишемо рівняння у вигляді

Позначимо .

Тоді будемо мати

, де .

1. Рівняння двигуна ДПС складається відносно моментів.

Двигун розвиває момент пропорційний струменю якоря , який відповідно закону Кіргофа врівноважується моментом якоря та моментом опору , де -- коефіцієнт передачі редуктора, -- момент навантаження. Рівняння відносно швидкості набирає вигляду

, яке після перетворення має вигляд

1. Рівняння редуктора

Таким чином загальна математична модель складається із системи рівнянь

При цьому структурна схема системи керування набуває вигляду

Класифікація системи керування:

Принцип дії -- розімкнута, закон керування -- по задаючому впливу

По мат. опису оператора системи -- лінійна, неперервна, стаціонарна

По цілі керування -- система стабілізації,

По кількості каналів керування -- одномірна.

П 1.2

Задано систему керування швидкістю обертання валу двигуна постійного струменя.

П₁ - Потенціометр - давач задаючого впливу

К₁ - Попередній підсилювач із коефіцієнтом підсилювання К₁

К_{У -} Підсилювач потужності із коефіцієнтом підсилювання К_У та

внутришнім опором R_i

ДПС - Двигун постійного струменя із незалежним збудженням =U

L_Я - Індуктивність якірної обмотки ДПС

R_Я - Омічний опір якірної обмотки ДПС

Р - Редуктор із коефіцієнтом редукції і

М_Н - Момент навантаження

П₂ - Потенціометр моментної муфти із коефіцієнтом передачи К₃

U_g - Задаючий вплив

U_В - Напруга на вході підсилювача потужності

І_Я - Струмень якірного ланцюга ДПС

N_Д - Швидкість обертання вала ДПС

Необхідно

1. Приведіть повну класифікацію системи автоматичного керування.

2. Визначити закон керування.

П 1.3

Задано систему керування швидкістю обертання валу двигуна постійного струменя

П₁ - Потенціометр - давач задаючого впливу

К₁ - Попередній підсилювач із коефіцієнтом підсилювання К₁

К_{У -} Підсилювач потужності із коефіцієнтом підсилювання К_У та

внутришнім опором R_i

ДПС - Двигун постійного струменя із незалежним збудженням =U

L_Я - Індуктивність якірної обмотки ДПС

R_Я - Омічний опір якірної обмотки ДПС

Р - Редуктор із коефіцієнтом редукції і

М_Н - Момент навантаження

Тг - Тахогенератор

П₂ - Потенціометр моментної муфти із коефіцієнтом передачи К₃

П₃₃ - Потенціометр зворотнього зв’язку

U_g - Задаючий вплив

U_В - Напруга на вході підсилювача потужності

І_Я - Струмень якірного ланцюга ДПС

N_Д - Швидкість обертання вала ДПС

N - Швидкість обертання вала навантаження

U_K - Напруга каналу компенсації

N_ХХ - Швидкість холостого ходу

Необхідно

1. Приведіть повну класифікацію системи автоматичного керування.

2. Визначити закон керування.

П 1.4

Задано систему керування швидкістю обертання валу двигуна постійного струменя

П₁ - Потенціометр - давач задаючого впливу

К₁ - Попередній підсилювач із коефіцієнтом підсилювання К₁

ІЕ - Імпульсний елемент ФНП із періодом квантування Т

К_{У -} Підсилювач потужності із коефіцієнтом підсилювання К _У та

внутришнім опором R_i

ДПС - Двигун постійного струменя із незалежним збудженням =U

L_Я - Індуктивність якірної обмотки ДПС

R_Я - Омічний опір якірної обмотки ДПС

Р - Редуктор із коефіцієнтом редукції і

М_Н - Момент навантаження

Тг - Тахогенератор

П₂ - Потенціометр моментної муфти із коефіцієнтом передачи К ₃

П₃₃ - Потенціометр зворотнього зв’язку

U_g - Задаючий вплив

U_В - Напруга на вході підсилювача потужності

І_Я - Струмень якірного ланцюга ДПС

N_Д - Швидкість обертання вала ДПС

N - Швидкість обертання вала навантаження

U_K - Напруга каналу компенсації

N_ХХ - Швидкість холостого ходу

Необхідно

1. Приведіть повну класифікацію системи автоматичного керування.

2. Визначити закон керування.

П 1.5

Задано систему керування кутом повороту валу навантаження

П₁ - Потенціометр - давач задаючого впливу

К₁ - Попередній підсилювач із коефіцієнтом підсилювання К₁

НЕ - Нелінійний елемент

К_{У -} Підсилювач потужності із коефіцієнтом підсилювання К_У та

внутришнім опором R_i

ДПС - Двигун постійного струменя із незалежним збудженням =U

L_Я - Індуктивність якірної обмотки ДПС

R_Я - Омічний опір якірної обмотки ДПС

Р - Редуктор із коефіцієнтом редукції і

М_Н - Момент навантаження

Тг - Тахогенератор

П₂ - Потенціометр моментної муфти із коефіцієнтом передачи К₃

П₃₃ - Потенціометр зворотнього зв’язку

U_g - Задаючий вплив

U_В - Напруга на вході підсилювача потужності

І_Я - Струмень якірного ланцюга ДПС

N_Д - Швидкість обертання вала ДПС

N - Швидкість обертання вала навантаження

U_K - Напруга каналу компенсації

N_ХХ - Швидкість холостого ходу

Ue - Похибка (сигнал розузгодження)

Необхідно

1. Привести повну класифікацію системи автоматичного керування.

2. Визначити закон керування.

П 1.6

Задано систему керування швидкістю обертання валу двигуна постійного струменя.

Необхідно

1. Поясніть призначення у керуючому пристрої додаткового двигуна постійного струменю.

2. Приведіть повну класифікацію системи керування.

3. Визначить закон керування.