Приклад 1

На тіло маси , що лежить на гладкій горизонтальній площині, в момент почала діяти сила, яка залежить від часу як , де – стала. Напрям цієї сили весь час утворює кут з горизонтом (див. рис. 1.1). Знайти:

a) швидкість тіла на момент відриву від площини;

b) шлях, який пройшло тіло до цього моменту.

Розв’язання:

Розглядуване тіло взаємодіє з Землею і з площиною. На тіло діє з боку Землі сила ваги , а з боку площини – сила реакції опори . Сила тертя відсутня, оскільки площина є гладкою. Динамічне рівняння руху (другий закон Ньютона) у векторному вигляді:

. (1.1)

Перейдімо від векторів до їхніх проекцій (Рис. 1.2.):

, (1.2)

. (1.3)

На момент відриву тіло перестає взаємодіяти з площиною, тобто . Тоді з (1.3) випливає:

. (1.4)

З формули (1.4) знайдемо момент часу, коли відбувається відрив тіла від площини:

. (1.5)

З виразу (1.2) дістаємо залежність прискорення від часу:

. (1.6)

Оскільки , то, враховуючи (1.6),

.

Швидкість на момент відриву

. (1.7)

Залежність швидкості від часу має вигляд:

. (1.8)

Після підстановки в (1.7) значення з (1.5) дістанемо шукане значення швидкості тіла на момент відриву його від площини:

.

Оскільки рух прямолінійний, шлях, який пройшло тіло до моменту відриву , де – координата тіла на момент відриву. Координата зв’язана із швидкістю наступним чином:

.

Підставивши з (1.8), дістанемо:

.

А шлях, який пройшло тіло до моменту відриву:

. (1.9)

Після підстановки значення з (1.5) у формулу (1.9) знайдемо шлях

.