Динаміка матеріальної точки і поступального руху тіла

Основне рівняння динаміки матеріальної точки (математичний вираз другого закону Ньютона):

,

де – маса матеріальної точки, – її швидкість, – вислідна сила.

,

де – сила, з якою діяло б на розглядувану матеріальну точку i -е тіло у відсутності інших тіл.

У проекціях на осі декартової системи координат:

,

де – проекції вектора на осі .

Третій закон Ньютона:

,

де – сила, з якою друга матеріальна точка діє на першу; – сила, що діє на другу точку з боку першої.

Імпульс (кількість руху) матеріальної точки:

.

Основне рівняння динаміки:

.

Імпульс системи:

,

де – імпульс i -ї частинки.

Основне рівняння динаміки для системи матеріальних точок має вигляд:

,

де – вислідна усіх зовнішних сил, .

Для замкненої системи матеріальних точок

.

Сила гравітаційного притягання, яка діє між двома матеріальними точками:

,

де – гравітаційна стала.

Однорідна сила ваги:

,

де – маса тіла, – прискорення вільного падання.

Пружна сила:

,

де – радіус-вектор, що характеризує зміщення частинки з положення рівноваги; – додатний коефіцієнт, який залежить від «пружних» властивостей тієї чи іншої конкретної сили.

Закон Гука:

,

де – деформація розтягання (стискання) пружини або стрижня.

Сила тертя ковзання:

,

де – коефіцієнт тертя ковзання, – сила нормального тиску, яка притискає поверхні, що труться, одна до одної. Сила напрямлена у бік, протилежний напрямкові руху даного тіла відносно другого.

Сила опору, що діє на тіло при його поступальному русі у газі чи рідині:

,

де – додатний коефіцієнт, характерний для даного тіла й даного середовища; – швидкість тіла відносно середовища.

Радіус-вектор центра мас механічної системи:

,

де та – маса та радіус-вектор i – ї частинки, – маса усієї системи.

.

Координати центра мас:

.

Рівняння руху центра мас:

,

де – вислідна усіх зовнішніх сил, які діють на систему; – маса всієї системи; – швидкість центра мас системи, .

Основне рівняння динаміки тіла змінної маси:

,

де – швидкість речовини, що приєднується (чи відокремлюється), відносно розглядуваного тіла. – реактивна сила.

Поступальна сила інерції, зумовлена поступальним рухом неінерціальної системи відліку:

,

де – прискорення неінерціальної системи відліку відносно інерціальної.

Відцентрова сила інерції:

,

де – кутова швидкість, з якою обертається неінерціальна система відліку;

– радіус-вектор, перпендикулярний до осі обертання і який характеризує положення частинки відносно цієї осі.

Сила Коріоліса, або коріолісова сила інерції:

,

де – швидкість частинки відносно системи відліку, яка обертається із сталою кутовою швидкістю .

Основне рівняння динаміки в неінерціальній системі відліку, яка обертається із сталою кутовою швидкістю навколо осі, яка переміщається поступально з прискоренням :

,

де – прискорення частинки відносно неінерціальної системи відліку.

Елементарна робота сили на переміщенні :

.

Робота на ділянці шляху від точки 1 до точки 2:

.

Робота пружної сили:

.

Робота однорідної сили ваги:

.

Потужність:

.

Потенціальна енергія частинки в однорідному полі сили ваги:

.

Потенціальна енергія пружного тіла при поздовжній деформації:

.

Зв’язок між силою і потенціальною енергією частинки у полі:

,

де – оператор «набла», .

Кінетична енергія частинки:

.

Кінетична енергія механічної системи:

,

де – маса всієї системи; – кінетична енергія механічної системи у системі відліку K; – кінетична енергія тієї ж механічної системи у системі відліку з початком відліку у центрі мас механічної системи, яка поступально рухається відносно системи відліку K із швидкістю центра мас .

Закон збереження механічної енергії системи:

,

якщо система замкнена і в ній немає дисипативних сил.