Теорема Чебышева. Имеется случайная величина x с математическим ожиданием mx и дисперсией Dx

Имеется случайная величина x с математическим ожиданием m_x и дисперсией D_x. Над этой величиной производится n независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое всех наблюденных значений величины x. Требуется найти числовые характеристики этого среднего арифметического - математическое ожидание и дисперсию - и выяснить, как они изменяются с увеличением n.

Обозначим:

Х₁ - значение величины x в первом опыте;

Х₂ - значение величины x во втором опыте, и т. д.

Очевидно, совокупность величин представляет собой п независимых случайных величин, каждая из которых распределена по тому же закону, что и сама величина Х. Рассмотрим среднее арифметическое этих величин:

.

Случайная величина Y есть линейная функция независимых случайных величин . Найдем математическое ожидание и дисперсию этой величины. Согласно правилам 10 для определении числовых характеристик линейных функций получим:

;

.

Итак, математическое ожидание величины Y не зависит от числа опытов и равно математическому ожиданию наблюдаемой величины X; что касается дисперсии величины Y, то она неограниченно убывает с увеличением числа опытов и при достаточно большом n может быть сделана сколь угодно малой. Мы убеждаемся, что среднее арифметическое есть случайная величина со сколь угодно малой дисперсией и при большом числе опытов ведет себя почти как не случайная.

Теорема Чебышева и устанавливает в точной количественной форме это свойство устойчивости среднего арифметического. Она формулируется следующим образом:

При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значении случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.

Запишем теорему Чебышева в виде формулы. Для этого напомним смысл термина «сходится по вероятности». Говорят, что случайная величина Xnсходится по вероятности к величине , если при увеличении n вероятность того, что Xn и a будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом

,

где - произвольно малые положительные числа.

Запишем в аналогичной форме теорему Чебышева. Она утверждает, что при увеличении среднее арифметическое сходится по вероятности к , т. е.

. (13.3.1)

Докажем это неравенство.

Доказательство. Выше было показано, что величина

имеет числовые характеристики

; .

Применим к случайной величине неравенство Чебышева, полагая :

.

Как бы мало ни было число , можно взять таким большим, чтобы выполнялось неравенство

где - сколь угодно малое число.

Тогда

,

откуда, переходя к противоположному событию, имеем:

,

что и требовалось доказать