Формула Грина. Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C

Пусть в плоскости O xy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция

с непрерывными частными производными первого порядка . Тогда справедлива формула Грина

где символ указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки.

Если , то формула Грина принимает вид

где S − это площадь области R, ограниченной контуром C.

Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля.

Пусть векторное поле описывается функцией

Ротором или вихрем векторного поля называется вектор, обозначаемый или и равный

Формула Грина в векторной форме записывается в виде