Центральная предельная теорема

Согласно центральной предельной теореме достаточно большая сумма сравнительно малых случайных величин ведет себя приближенно как нормальная случайная величина. Строгое определение подразумевает последовательность независимых случайных величин (X₁, …, X_n), MX_i=a_i, DX_i=s_i², которые удовлетворяют при любом t > 0 условию Линдеберга: lim(n®¥) (S(n|i=1) §(|x_i-a_i| > tb_n) (x_i-a_i)² * f_i(x_i)*dx_i) / (S(n|i=1) s_i²) = 0, b_n=sqr(S(n|i=1) s_i²). Функция распределения центрированной и нормированной суммы Z_n=S(n|i=1) (X_i-a_i) / (sqr(S(n|i=1) s_i²) независимых случайных величин X₁, …, X_n, которые удовлетворяют условию Линдеберга, сходится к функции распределения стандартной нормальной случайной величины: F_n(x)=P(Z_n < x) ® 1/sqr(2p) * §(x|-¥)

e^{-z^2/2} * dz (теорема Ляпунова). Следствие из теоремы Ляпунова: если независимые случайные величины X₁, …, X_n имеют одинаковое распределение с MX_i=a, DX_i=s², то функция распределения их центрированной и нормированной суммы Z_n=S(n|i=1) (X_i-a) / (s*sqr(n)) сходится к функции распределения стандартной нормальной случайной величины: F_n(x)=P(Z_n < x) ® 1/sqr(2p) * §(x|-¥) e^{-z^2/2} * dz. Сравнительно большая сумма (n велико) достаточно малых случайных величин (дисперсии слагаемых D(Z_i/sqr(n))=1/n – малы) распределена приближенно как стандартная нормальная случайная величина. При n®¥ распределение соответствующей суммы заменяют на распределение стандартной нормальной случайной величины.

Основные понятия математической статистики

Математическая статистика – это раздел математики, основная задача которого – оценить характеристики генеральной совокупности по выборочным данным.

Генеральная совокупность – это весь мыслимый набор данных, описывающих какое-либо явление; строгое определение: это случайная величина X(w), заданная на пространстве элементарных событий W с выделенным в нем полем событий S, для которых указаны их вероятности P. Более краткое определение: это генеральная случайная величина X(w) и связанное с ней вероятностное пространство (W, S, P). Выборка объема n – это совокупный результат n независимых наблюдений за генеральной случайной величиной. Конкретная выборка x₁, …, x_n – это конечная последовательность чисел – реализации случайной величины X(w). Случайная выборка – это последовательность X₁, …, X_n независимых одинаково распределенных случайных величин, распределение каждой их которых совпадает с распределением генеральной случайной величины. Распределение случайной выборки имеет вид F_{X1, …, Xn} (x₁, …, x_n)=P{X₁ < x₁, …, X_n < x_n}=П(n|i=1) P{X_i < x_i}=П(n|i=1) F_Xi(x_i).