Неравенство Чебышева. Если случайная величина X имеет математическое ожидание и дисперсию, то для любого e > 0 справедливо следующее неравенство: P{|X-MX| ³ e} £

Если случайная величина X имеет математическое ожидание и дисперсию, то для любого e > 0 справедливо следующее неравенство: P{|X-MX| ³ e} £ DX/e². Доказательство (для абсолютно непрерывной случайной величины – для дискретных случайных величин интегралы заменяются соответствующими суммами): пусть MX=a. P{|X-a| ³ e} = §(|x-a| ³ e) f(x)*dx (*). Запишем область интегрирования |x-a| ³ e в форме (x-a)² / e² ³ 1 => §(|x-a| ³ e) 1*f(x)*dx £ §(|x-a| ³ e) (x-a)² / e² f(x)*dx (**). Расширим область интегрирования до всей прямой и получим: 1/e²*§(|x-a| ³ e) (x-a)² * f(x)*dx £ 1/e² * §(¥ | -¥) (x-a)² * f(x)*dx = DX/e² (***). Из выражений (*, ** и ***) получаем неравенство Чебышева.

Закон больших чисел (теорема Ляпунова)

Законы больших чисел утверждают, что среднее арифметическое большого числа независимых случайных величин ведет себя как среднее арифметическое их математических ожиданий. Теоретическую основу законов больших чисел составляют понятие сходимости случайных величин и неравенство Чебышева. Сходимость по вероятности: последовательность случайных величин X₁, X₂, …, X_n, … сходится по вероятности к случайной величине X, если для любого e > 0 справедливо: lim(n®¥) P{|X_n-X| < e}=1 или lim(n®¥) P{|X_n-X| ³ e}=0. Сходимость записывается как X_n Þ X. Неравенство Чебышева: если случайная величина X имеет математическое ожидание и дисперсию, то для любого e > 0 справедливо следующее неравенство: P{|X-MX| ³ e} £ DX/e². Доказательство (для абсолютно непрерывной случайной величины – для дискретных случайных величин интегралы заменяются соответствующими суммами): пусть MX=a. P{|X-a| ³ e} = §(|x-a| ³ e) f(x)*dx (*). Запишем область интегрирования |x-a| ³ e в форме (x-a)² / e² ³ 1 => §(|x-a| ³ e) 1*f(x)*dx £ §(|x-a| ³ e) (x-a)² / e² f(x)*dx (**). Расширим область интегрирования до всей прямой и получим: 1/e²*§(|x-a| ³ e) (x-a)² * f(x)*dx £ 1/e² * §(¥ | -¥) (x-a)² * f(x)*dx = DX/e² (***). Из выражений (*, ** и ***) получаем неравенство Чебышева.