Числовые характеристики дискретных случайных величин, их свойства

Математическое ожидание – это сумма (или среднее значение) произведений возможных значений случайной величины на соответствующие этим значениям вероятности: M(X) = S(n|i=1) x_i*p_i (при n¹¥). Свойства математического ожидания: 1. математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной: M(C)=C; 2. const. Выносится за знак математического ожидания: M(CX)=C*M(X); 3. математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=MX+MY; 4. математическое ожидание произведения независимых случайных величин: M(XY)=MX+MY; 5. математическое ожидание альтернативной случайной величины (которая описывает результат единичного испытания в схеме Бернулли) равно вероятности положительного исхода: M(X)=p (на основе ряда распределения альтернативной случайной величины); 6. математическое ожидание биномиальной случайной величины равно произведению числа испытаний на вероятность положительного исхода: M(X)=np; 7. математическое ожидание пуассоновской случайной величины равно l=np (пуассоновская случайная величина является предельной по отношению к биномиальной): M(X)=l; 8. математическое ожидание геометрической случайной величины (число испытаний по схеме Бернулли до первого положительного исхода) обратно пропорционально вероятности положительного исхода: M(X)=1/p. Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания: DX=M(X-M(X))². Вторая формула дисперсии: DX=M(X)²-(MX)². Свойства дисперсии: 1. дисперсия постоянной равна 0: DC=0; 2. постоянная выносится за знак дисперсии с возведением в квадрат: D(CX)²=C²*DX; 3. дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий: D(X+Y)=DX+DY; 4. дисперсия произведения независимых случайных величин X, Y равна разности произведения математических ожиданий квадратов случайных величин и произведения квадратов математических ожиданий случайных величин: D(XY)=MX²*MY²-(MX)²*(MY)²; 5-8. DX=pq (альтернативная); DX=npq (биномиальная); DX=l (пуассоновская); DX=q/p² (геометрическая).