Формула полной вероятности. Если события А1, , Аn, P(Ai) > 0 образуют полную группу событий, то вероятность события В может быть представлена как сумма произведений безусловных

Если события А₁, …, А_n, P(A_i) > 0 образуют полную группу событий, то вероятность события В может быть представлена как сумма произведений безусловных вероятностей событий полной группы на условные вероятности события В: P(B)=S(n | i=1) P(A_i)*P(B/A_i). События полной группы A₁, …, A_n попарно несовместны, поэтому попарно несовместны и их произведения (пересечения) с событием В, т.е. события ВÇА_i, BÇA_j при i¹j несовместны. Т.к. событие В можно представить в виде B=U(n | i=1) BÇA_i, то использовав аксиому сложения вероятностей, получим P(B)=S(n | i=1) P(BÇA_i). Используем формулу умножения вероятностей (P(AÇB)=P(A)*P(B/A)) => P(B)=S(n | i=1) P(A_i)*P(B/A_i).

Формула Байеса

Из формулы полной вероятности (P(B)=S(n | i=1) P(A_i)*P(B/A_i)) можно получить формулу Байеса для события В с P(B) > 0 и системы попарно несовместных событий А_i, P(A_i) > 0, B Ì U (n | i=1) A_i: P(A_k/B) = (P(A_k)*P(B/A_k)) / S (n | i=1) P(A_i)*P(B/A_i). Используя формулы условной вероятности и умножения вероятностей: P(A_k/B) = (P(A_kÇB)) / P(B) = (P(A_k)*P(B/A_k)) / P(B). Заменим вероятность события В по формуле полной вероятности и получим формулу Байеса. Вероятности типа P(A_i) называют априорными вероятностями (вероятности до выполнения опыта), а условные вероятности этих событий P(A_i/B) – апостериорными (уточненными во время опыта вследствие появления события B).