Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка

Оператор Гамильтона (Оператор набла) - это векторный дифференциальный оператор, который в декартовых координатах определяется формулой:

Сам вектор не имеет реального значения, он приобретает определённый смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.

Представим grad, div и rot через оператор набла:

1. Произведение вектора на скалярную функцию даёт градиент этой функции

.

2. Скалярное произведение вектора на векторную функцию даёт дивергенцию этой функции

.

3. Векторное произведение вектора на векторную функцию даёт ротор этой функции

.

Действия взятия градиента, дивергенции, ротора называются векторными дифференциальными операциями первого порядка, т.к. в них участвуют только первые производные.

В приложениях встречаются векторные дифференциальные операции второго порядка.

Оператор называется оператор Лапласа в декартовых координатах.

Дифференциальные операторы второго порядка: