Лекция №18

triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)

triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)

Пример:

triplequad('x+y*z',0,pi,0,1,-1,1)

ans = 9.86960440108936

Недостатком данной функции является то, что она не всегда обеспечивает вычисления.

.

1. Статические моменты дуги относительно осей ОХ и ОУ определяются по формулам:

Задача: Вычислить

>> syms x y

>> x1=0;y1=-1;x2=3;y2=5;

>> y=(x-x1)/(x2-x1)*(y2-y1)+y1; % составляем уравнения прямой

>> dl=sqrt(1+diff(y,x)^2);

>> I=int((2*y^2-x*y)*dl,x,0,3)

I = 57/2*5^(1/2)

Задача: Вычислить .

Зададим уравнение окружности в ПСК

>> syms ro R phi

>> ro=R;

>> dl=sqrt(ro^2+diff(ro,phi)^2)

>> y=ro*sin(phi);

>> I=int(y^2*dl,phi,0,pi)

I = 1/2*pi*R^2*(R^2)^(1/2)

Задача: Вычислить

>> syms t a b

>> x=a*cos(t);

>> y=b*sin(t);

>> dl=sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2)

>> I=int(sqrt(a^2/b^2*y^2+b^2/a^2*x^2)*dl,t,0,pi/2)

I = 1/4*a^2*pi+1/4*b^2*pi

2. Криволинейные интегралы 2 рода (по координатам).

Свойства:

Особенности:

1) при не зависит от пути интегрирования;

2) при

Вычисление криволинейного интеграла:

1. Если кривая L задана уравнением

2. Если кривая L задана параметрическими уравнениями

Формула Остроградского-Грина: .

Применение криволинейного интеграла:

1. Площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости ХОУ и ограниченной замкнутой линией L можно найти по формуле: .
2. Работа, совершаемая силой , действующей на точку при перемещении по дуге АВ, находится по формуле

Задача: Вычислить

>> syms x y

>> x1=0;y1=1;x2=1;y2=2;

>> y=(x-x1)/(x2-x1)*(y2-y1)+y1

y = x+1

>> I=int(x^2+x*y^2*diff(y,x),x,0,1)

I = 7/4

Задача: Вычислить

>> syms t a

>> x=a*cos(t)^3;

>> y=a*sin(t)^3;

>> I=int(y*diff(x,t)+x*diff(y,t),t,0,pi/4)

I = 1/8*a^2

Задача:

Вычислить

syms x y

>> P=4*x*y+5*y^3;

>> Q=2*x^2+15*x*y^2; % проверяем выполнение условия полного дифференциала

>> diff(P,y)-diff(Q,x)

ans = 0 % условие выполнено, т.е. криволинейный ин-л не зависит от пути интегрирования.

>> ezplot(y^2-x)

>> grid on

% Выбираем прямую у = х

P=4*x*y+5*y^3;

Q=2*x^2+15*x*y^2;

>> P=subs(P,y,x)

>> Q=subs(Q,y,x)

>> I=int(P+Q,x,0,1)

I = 7

Задача: Найти функцию по её полному дифференциалу: .

Решение: . Выбираем точку М(х_0,у₀) = М (1,1)

>>syms x y

>> P=log(y)+1/x;

>> Q=x/y+6*y;

>> Pxy0=subs(p,y,1)

>>syms x1 y1 C; U=int(Pxy0,x,1,x1)+int(Q,y,1,y1)+C

U = log(x1)+x*log(y1)+3*y1^2-3+C

3. Поверхностные интегралы 1 рода (по площади поверхности).

Свойства: аналогичны свойствам криволинейного интеграла 1 рода.

Вычисление поверхностного интеграла:

Если поверхность σ имеет уравнение , где z- однозначная функция от х и у, то поверхностный интеграл 1 рода преобразуется в двойной интеграл по формуле:

,

где D – проекция поверхности σ на плоскости ХОУ. Аналогично вычисляются поверхностные интегралы 1 рода, когда поверхность σ имеет уравнение вида

,

.

Применение поверхностного интеграла 1 рода:

1. Площадь поверхности: .

2. Масса поверхности: .

3. Координаты центра тяжести: .

4. Моменты инерции относительно координатных осей:

Задача: Вычислить ,

syms x y

>> ezmesh(sqrt(x^2+y^2))

>> hold on

>> [x,y]=meshgrid(-5:0.01:5);

>> z=0+x.*0;

>> plot3(x,y,z)

>> z=1+x.*0;

>> plot3(x,y,z)

>> z=sqrt(x^2+y^2);

>> dq=sqrt(1+diff(z,x)^2+diff(z,y)^2);

>> dq = simplify(dq);

>> syms ro phi

>> I=int(int(ro^3,ro,0,1)*dq,phi,0,2*pi)

I= 1/2*2^(1/2)*pi

4. Поверхностные интегралы 2 рода (по координатам).

Значение поверхностного интеграла 2 рода зависит от стороны поверхности σ, по которой проводится интегрирование.

Вычисление поверхностных интегралов:

, где знак «+» берётся в том случае, если на выбранной стороне поверхности (γ – угол между нормалью к поверхности и осью OZ. Аналогично вычисляются остальные интегралы.

Формула Остроградского-Гаусса.

Если S – замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл 2 рода можно преобразовать в тройной по области Ω,ограниченной этой областью и наоборот.

.

Задача: Вычислить

Решение:

syms x y

>> z=x^2/2;

>> ezmesh(z)

>> hold on

>> [x,y]=meshgrid(-5:0.01:5);

>> z=2+x.*0;

>> plot3(x,y,z)

Поверхность незамкнутая. Расписываем интеграл в виде двух интегралов.

, т.к. образующие цилиндра параллельны оси ОУ.

, т.к. и нормаль к внутренней стороне цилиндра образует разные углы с осью ОХ, поэтому поверхность разбиваем на две.

>> syms z y

>> I=-2*sqrt(2)*int(int(z^(3/2),z,0,2)*y,y,0,4)

I = - 256/5

Задача: Вычислить , где σ – внешняя сторона поверхности, составленной из части цилиндра и плоскостей

syms x y z

>> P=4*x^3;

>> Q=4*y^3;

>> R=-6*z^4;

>> diff(P,x)+diff(Q,y)+diff(R,z)

ans =12*x^2+12*y^2-24*z^3

syms r phi h a;

I=int(int(int(12*r^2-24*z^3,z,0,h)*r,r,0,a),phi,0,2*pi)

I = 6*h*a^4*pi-6*h^4*a^2*pi

Лекция №18