Основные теоремы вероятностей

Теорема сложения вероятностей. Вероятность наступления случайного события А или несовместного с ним события В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А или В)=Р(А)+Р(В), (4)

Пример1. В коробке находятся 2 упаковки аспирина, 3 – анальгина и 5 – цитромона. Наугад извлекается одна упаковка, Какова вероятность того, что ею окажется упаковка аспирина или анальгина?

Решение. Вероятность извлечения упаковки аспирина (вероятность события А) в соответствии с формулой классической вероятности равна:

Р (А) = = 0,2

Аналогично, вероятность извлечения упаковки анальгина (вероятность события В) равна:

Р (В) = = 0,3.

Так как данные события являются несовместными (если извлечена упаковка аспирина, то при этом упаковка анальгина не извлечена, и наоборот), то для нахождения искомой вероятности в соответствии с теоремой сложения следует сложить найденные вероятности:

Р (А или В) = Р (А) + Р(В) = 0,2 +0,3 = 0,5

Теорема умножения вероятностей для независимых событий:

Вероятность наступления двух независимых случайных событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А и В)=Р(А) ∙ Р(В), (5)

Пользуясь этой теоремой, легко определить, например, вероятность выпадения гербов на двух подбрасываемых монетах. Поскольку событие А, состоящее в выпадении герба у первой монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у второй монеты, являются независимыми и вероятности каждого из них равны 0,5, то по формуле (5) получим:

Р (А и В) = Р(А) ∙ Р(В) = 0,5∙ 0,5 = 0,25

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий:

Вероятность наступления случайного события А и зависящего от него события В равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В:

Р(А и В)=Р(А) ∙ Р(В/А), (6)

Пример 2. В коробке находятся 2 упаковки аспирина и 3 упаковки анальгина. Наугад извлекают одну упаковку и, не возвращая ее в коробку, извлекают наугад еще одну упаковку. Найти вероятность того, что обе извлеченные упаковки окажутся с аспирином.

Решение. Пусть случайное событие А состоит в том, что первая извлеченная упаковка окажется с аспирином. Вероятность этого события в соответствии с классическим определением вероятности равна:

Р(А) = = 0,4

Случайное событие В, состоящее в том, что вторая извлеченная упаковка окажется с аспирином, является зависимым от события А, т.к. в случае наступления события А в коробке останется только одна упаковка с аспирином из четырех и вероятность события В будет равна

Р(В/А) = 0,25.

Тогда вероятность того, что обе извлеченные упаковки окажутся с аспирином, находится по формуле (6):

Р(А и В)=Р(А) ∙ Р(В/А) = 0,4 ∙ 0,25 = 0,1.